高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.2 向量数量积的运算律课堂探究学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

2.3.2 向量数量积的运算律课堂探究探究一 向量数量积的计算求平面向量的数量积时，常用到以下结论：(1)a2＝|a|2；(2)(xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中 x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则；(3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c．同时还要注意几何性质的应用，将向量适当转化，转化的目的是用上已知条件．【例 1】 已知两个单位向量 e1与 e2的夹角为 60°，求：(1)e1·e2；(2)(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)；(3)(e1＋e2)2．解：(1)e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝．(2)由(1)可知 e1·e2＝，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6＋3e2·e1＋4e1·e2－2＝－6|e1|2＋3×＋4×－2|e2|2＝－6＋－2＝－．(3)(e1＋e2)2＝(e1＋e2)·(e1＋e2)＝＋e1·e2＋e2·e1＋＝＋2e1·e2＋＝1＋1＋1＝3．误区警示 利用(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2时，不要将式中的 a·b 写成|a||b|．探究二 求向量的模利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；(2)|a±b|＝＝．【例 2】 已知向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．分析：通过数量积 a·b 来探求已知条件|3a－2b|＝3 与目标式|3a＋b|之间的关系．解：因为|a|＝|b|＝1，所以|a|2＝|b|2＝1．又因为|3a－2b|＝3，所以(3a－2b)2＝9，所以 9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9，将|a|2＝|b|2＝1，代入有 a·b＝，而(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋6×＋1＝12，所以|3a＋b|＝．探究三 向量在几何中的应用向量作为一种工具在解决几何问题中有着广泛的应用，将几何问题转化为向量问题是极其关键的一步，同时注意向量的数量积及向量的运算律的运用；在应用时还要注意向量的相关概念与一些几何概念的区别，如，向量的夹角与直线的夹角．【例 3】 在等腰直角三角形 ABC 中，∠C 是直角，CA＝CB，D 是 CB 中点，E 是 AB 上一点，且 AE＝2EB，求证：AD⊥CE．证明：如图．·=(+)·(+)=·+·+·+·=-＋·＋·＝－＋||·||·＋||·||·＝－＋||··||·＋||··||·＝－＋＋＝0，所以⊥，即 AD⊥CE．【例 4】 △ABC 三边长为 a，b，c，以 A 为圆心，r 为半径作圆，如图所示，PQ 为直径，试判断 P，Q 在什么位置时，·有最大值？分析：由三角形法则构造与的数量积，然后转化为在实数范围内求最大值．解：因为＝－，＋＝，即＝－－＝－－，所以·＝...