高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.2 向量数量积的运算律学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

2.3.2 向量数量积的运算律基础知识基本能力1．掌握平面向量数量积的运算律及常用恒等式．(重点)2．理解数量积运算律的适用范围，并注意与实数乘法、数乘向量运算律的区别与联系．(难点、易错点)1．能正确地运用数量积的运算律进行相关的计算或证明．(重点)2．要注意运算律可以双向使用，并要知道数量积运算不满足结合律，也就是说，一般情况下(a·b)c≠a(b·c)．(难点、易错点)向量数量积的运算律已知向量 a，b，c 与实数 λ，则a·b＝b·aλ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)(a＋b)·c＝a·c＋b·c【自主测试 1】下列命题正确的是( )A．|a·b|＝|a||b|B．a·b≠0⇔|a|＋|b|≠0C．a·b＝0⇔|a||b|＝0D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c答案：D【自主测试 2】向量 m 和 n 满足|m|＝1，|n|＝，且 m⊥(m－n)，则 m 与 n 夹角的大小为( )A．30° B．45° C．75° D．135°解析：设 m 与 n 的夹角为 θ，则由 m⊥(m－n)，知 m·(m－n)＝0，即 m2－m·n＝0，∴m·n＝m2＝|m|2＝1，∴cos θ＝＝＝，∴θ＝45°.答案：B【自主测试 3】已知|a|＝4，|b|＝5，且 a，b 的夹角为 60°.求：(1)a2－b2；(2)(2a＋3b)·(3a－2b)．解：(1)a2－b2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9；(2)(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2＋5a·b－6b2＝6×16＋5×4×5cos 60°－6×25＝－4.向量数量积的运算不满足结合律剖析：向量数量积的运算不满足结合律，即等式(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，下面给出说明：思路一：举反例．如图所示，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，且|OA|＝1，|OB|＝2，|OC|＝3，〈OA，OB〉＝，〈OC，OB〉＝，则〈OC，OA〉＝，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1，b·c＝|b||c|cos〈b，c〉＝3.∴(a·b)·c＝c，a·(b·c)＝3a.很明显 c＝3a 不成立，∴(a·b)·c＝a·(b·c )不成立．故等式(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．思路二：下面用向量数量积的几何意义来分析．由于向量的数量积是实数，则设 a·b＝λ，b·c＝μ.则(a·b)·c＝λc，a·(b·c)＝μ a.由于 c，a 是任意向量，则 λc＝μa 不一定成立．故等式(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．题型一 有关向量的数量积、模、垂直等的计算【例题 1】设 O 为△ABC 的外心，OD⊥BC 于点 D，且||＝，||＝1，则·(－)的值是( )A．1 B．2 C． D．解析：由 O 是△ABC 的外心及 OD⊥BC 可知，D 为边 BC 的中点，将变形为(＋)，再利用数量积的运算律求解．答案：A反思求解本题时，要注意几何性质...