2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课堂探究探究一 向量数量积的坐标运算已知向量的坐标，直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；若向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．【例 1】 已知向量 a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．(1)试计算 a·b 及|a＋b|的值；(2)求向量 a 与 b 夹角的余弦值．解：(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，所以 a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，a＋b＝(5,2)，所以|a＋b|＝．(2)设向量 a 与 b 的夹角为 x，则 cos ＝＝＝＝．探究二 向量的模、夹角的坐标表示1．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0，则向量 a 与 b 垂直⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．2．向量垂直的坐标表示 x1x2＋y1y2＝0 与向量共线的坐标表示 x1y2－x2y1＝0 很容易混淆，应仔细比较并熟记、当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是 a·b＝0，而共线是方向相同或相反．【例 2】 已知向量 a＝(－2，－1)，a·b＝10，|a－b|＝，则|b|＝( )A． B． C．20 D．40解析：设 b＝(x，y)，由 a＝(－2，－1)，a·b＝10，可得－2x－y＝10．①a－b＝(－2－x，－1－y)，所以|a－b|＝＝．②由①②可得 x＝－4，y＝－2．所以 b＝(－4，－2)，|b|＝＝．答案：A反思 本题是利用公式|a|＝ (其中 a＝(a1，a2))求解．【例 3】 在△ABC 中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．分析：要对△ABC 的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系．解：当 A＝90°时，·＝0，所以 2×1＋3×k＝0．所以 k＝－．当 B＝90°时，·＝0，＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，所以 2×(－1)＋3×(k－3)＝0．所以 k＝．当 C＝90°时，·＝0，所以－1＋k(k－3)＝0，所以 k＝．因此，当 k＝－，或 k＝，或 k＝时，△ABC 的一个内角为直角．探究三 数量积的坐标表示在几何中的应用用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．【例 4】 以原点 O 和点 A(5,2)为两个顶点作等腰直角△ABO，B 为直角顶点，试求的坐标．解：设 B(x，y)，则＝(x，y)，＝(x－5，y－2)．因为△ABO 是等腰直角三角形，故⊥，且||＝||，所以解得或所以＝或＝．【例 5】 已知 a＝(，－1)，b＝，且存在实数 k 和 t 使得 x＝a＋(t...
