2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式基础知识基本能力1．掌握数量积的坐标表达式．(重点)2．熟记与数量积有关的一些常用度量公式．(重点、易混点)1．能熟练地求解具有坐标的两个向量的数量积．(重点)2．能运用数量积来表示两个向量的夹角，并会用数量积来判断两个平面向量的垂直关系．(重点、难点)3．能够运用坐标表达式解决与长度、夹角、垂直、正投影等有关的实际问题．(难点)1．向量内积的坐标运算已知 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a·b＝a1b1＋ a 2b2.知识拓展非零向量 a＝(x1，y1)与 b＝(x2，y2)夹角 θ 的范围与坐标运算的数量积的关系是：(1)θ 为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2＞0；(2)θ 为直角⇔x1x2＋y1y2＝0；(3)θ 为钝角或平角⇔x1x2＋y1y2＜0.【自主测试 1】若 a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且 a·b＝，则 x 等于( )A．3 B． C．－ D．－3解析：由题意，得 2x－6x＝，解得 x＝－.答案：C2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件已知 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a⊥b ⇔a1b1＋a2b2＝0.名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如 a＝(m，n)与 b＝k(n，－m)总是垂直的，当两向量的长度相等时，k 取±1.【自主测试 2】已知 a＝(2,5)，b＝(λ，－3)，且 a⊥b，则 λ＝__________.解析： a⊥b，∴a·b＝0，即 2λ－15＝0，∴λ＝.答案：3．向量的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知 a＝(a1，a2)，则|a|＝，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)两点之间的距离公式：如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.(3)向量的夹角的余弦公式：已知 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则两个向量 a，b 的夹角的余弦为 cos〈a，b〉＝.你会求出与向量 a＝(m，n)同向的单位向量 a0的坐标吗？答：a0＝＝(m，n)＝.【自主测试 3－1】已知 A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC 为( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法判断解析：由AB＝(1,1)，BC＝(－4,2)，CA＝(3，－3)，得AB2＝2，BC2＝20，CA2＝18. AB2＋CA2＝BC2，即 AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC 为直角三角形．答案：B【自主测试 3－2】已知 m＝(3，－1)，n＝(x，－2)，且〈m，n〉＝，则 x 等于( )A．1 B．－1 C．－4 D．4解析：cos＝，解得 x＝1.答案：A【自主测试 3－3】已知 a＝(3，x)，|a|＝5，则 x＝__________.解析：由|a|2＝9＋x2＝25，解得 x＝±4.答案：±41．向量模的坐标运算的实质剖...
