2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课堂导学课堂导学1.平面向量数量积的概念【例 1】 已知|a|=5，|b|=4，a 与 b 的夹角为 120°，求：（1）a·b；（2）（a+b）2；（3）a2-b2；（4）（2a-b）·（a+3b）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多 项 式 的 乘 法 运 算 ， 如 （ a+b ） 2= （ a+b ） · （ a+b ） = （ a+b ） ·a+（a+b）·b=a·a+b·a+a·b+b·b= a2+2a·b+b2.解：（1）a·b=|a||b|cos120°=5×4×(-)=-10.（2）（a+b）2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=25-2×10+16=21.(3)a2-b2=|a|2-|b|2=25-16=9.（4）（2a-b）·（a+3b）=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示（1）在进行向量数量积运算时，要严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a±b）2=a2±2a·b+b2,（a+b）·（a-b）=a2-b2（a+b+c）2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.【例 2】已知 a 与 b 的夹角为 30°，且|a|=,|b|=1,求向量 p=a+b 与 q=a-b 的夹角的余弦.思路分析：利用 cosθ=确定 p,q 的夹角，必先求 pq 及|p||q|，而求|p|及|q|利用模长公式|p|2=p2,|q|2=q2.解： |p|=|a+b|=,|q|=|a-b|=∴cosθ=.温馨提示（1）在求向量的模及两向量夹角时，主要利用公式|a|2=a2及 cosθ=.（2）向量夹角的计算中涉及了多种形式的向量运算和数量运算，计算时，不仅要防止计算错误的发生，还要区分要进行的是向量运算还是数量运算，从而保证结果准确无误.2.平面向量数量积的应用【例 3】 已知|a|=4，|b|=3，a 与 b 的夹角为 120°，且 c=a+2b，d=2a+kb，问当 k 取何实数时，（1）c⊥d;(2)c∥d思路分析：依据两个向量垂直的条件是这两个向量的夹角为 90°，而两个向量的平行的条件是夹角为 0°或 180°；再由夹角公式求得所需条件.解：设 c 与 d 的夹角为 θ，则由已知,得c·d=（a+2b）·（2a+kb）=2a2+（4+k）a·b+2kb2=2×42+(4+k)×4×3×cos120°+2k·32=8+12k.|c|=|a+2b|==.|d|=|2a+kb|===∴cosθ=(1)要使 c⊥d，只要 cosθ=0,即 6k+4=0,∴k=-.(2)要使 c∥d,只需 cosθ=±1,即=±(6k+4),解得 k=4.综上，当 k=-时，c⊥d;当 k=4 时，c∥d.温馨提示两向量平行，夹角为 0°或 180°,故有 a·b=|a||b|或 a·b=-|a||b|.而两向量垂直，夹角为 90°,所以 a·...
