2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标：1.平面向量的数量积．(重点)2.平面向量数量积的几何意义．(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．平面向量数量积的定义非零向量 a，b 的夹角为 θ，数量|a||b|cos θ 叫做向量 a 与 b 的数量积，记作a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ.特别地，零向量与任何向量的数量积等于 0.思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？[提示] 数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①b 在 a 的方向上的投影为|b|cos θ；②a 在 b 的方向上的投影为|a|cos θ.(2)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．思考：投影一定是正数吗？[提示] 投影可正、可负也可以为零．3．向量数量积的性质垂直向量a·b＝0平行向量同向a·b＝|a||b|反向a·b＝－|a||b|向量的模a·a＝|a|2或|a|＝求夹角cos θ＝不等关系a·b≤|a||b|4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[基础自测]1．思考辨析(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．( )(2)设非零向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ>0⇔a·b>0.( )(3)|a·b|≤a·b.( )(4)(a·b)2＝a2·b2.( )[解析] (1)×.因向量的夹角包括 180°，直线的倾斜角不包括 180°.(2)√.由数量积的定义可知．(3)×.|a·b|≥a·b，(4)×.(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ.[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知向量 a，b 满足|a|＝2，|b|＝，且 a 与 b 的夹角为 60°，那么 a·b 等于________． [a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝.]3．已知|b|＝3，a 在 b 方向上的投影是，则 a·b 为________．2 [设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a 在 b 方向上的投影|a|cos θ＝，所以 a·b＝|b||a|cos θ＝3×＝2.][合 作 探 究·攻 重 难]向量数量积的计算及其几何意义 (1)已知单位向量 e1，e2的夹角为，a＝2e1－e2，则 a 在 e1上的投影是________．(2)给出下列结论：①若 a≠0，a·b＝0，则 b＝0；②若 a·b＝b·c，则 a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④ a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．(3)已知向量 a 与 b 满足|a|＝10，|b|...
