2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义疱工巧解牛知识•巧学一、平面向量的数量积与投影1.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b=|a||b|cosθ.根据定义，若 a=0，则 0·b=0.所以规定：零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·b=0.误区警示 两个向量的数量积是两向量之间的一种新的乘法，与实数的乘法是有区别的，注意区分以下几点：① 两向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定.② 两个向量的数量积称为内积，应写成 a·b，不能写成 a×b(两向量的外积)，它与代数中数 a、b 的乘积 ab(或 a·b)是不同的.③ 在实数中，若 a≠0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，当 a≠0 时，由 a·b=0 不能推出 b 一定是零向量.因为其中 cosθ 有可能为 0，即任一与 a 垂直的非零向量 b，都有a·b=0.④ 已知实数 a、b、c(b≠0)，则 ab=bca=c；但对于向量，该推理就是不正确的，即a·b=b·ca=c.⑤ 对于实数 a、b、c 有(ab)c=a(bc)，但对于向量 a、b、c，(a·b)c=a(b·c)未必成立，这是因为(a·b)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与a 不一定共线，所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立.2.向量 a 在 b 方向(或 b 在 a 方向)上的投影图 2-4-2 如图 2-4-2，已知=a，=b，过 B 作 BB1垂直于直线，垂足为 B1，则 OB1=|b|cosθ. |b|cosθ 叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影，同理，|a|cosθ 叫做 a 在 b 方向上的投影.a·b 的几何意义是：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的投影|b|cosθ 的乘积，或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上的投影|a|cosθ 的乘积.二、两个向量的数量积的性质设 a、b 都是非零向量，1.a⊥ba·b=0.证明：若 a⊥b，则 a 与 b 的夹角 θ=90°，所以 a·b=|a||b|cos90°=0；反过来，a·b=|a||b|cosθ=0，因|a|≠0，|b|≠0，所以 cosθ=0，所以 θ=90°，则 a⊥b.学法一得 数量积的这条性质是解决代数、几何问题中的垂直关系的基本方法.2.当 a 与 b 同向时，a·b=|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b=-|a||b|.特别地，a·a=a2=|a|2，或|a|=.学法一得 该条性质实现了实数与向量的联系，我们在求向量模时，往往...
