2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．2．会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系．平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ，则有下表：坐标表示数量积a·b＝__________模|a|＝__________或|a|2＝__________设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝______________垂直a⊥ba·b＝0______________＝0夹角cos θ＝＝__________________已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．若 a∥bx1y2＝x2y1，即 x1y2－x2y1＝0.若 a⊥bx1x2＝－y1y2，即 x1x2＋y1y2＝0.这两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：共线纵横交错积相等，垂直横横纵纵积相反．【做一做 1－1】 向量 m＝(1,0)，n＝(2，－5)，则 m·n 等于( )A．－2 B．0 C．2 D．7【做一做 1－2】 已知MN＝(3，－4)，则|MN|等于( )A．3 B．4 C. D．5【做一做 1－3】 若向量 a＝(4,2)，b＝(6，m)，且 a⊥b，则 m 的值是( )A．12 B．3 C．－3 D．－12【做一做 1－4】 已知 a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则 a 与 b 的夹角 θ＝__________.答案：x1x2＋y1y2 x＋y x1x2＋y1y2 【做一做 1－1】 C m·n＝1×2＋0×(－5)＝2.【做一做 1－2】 D |MN|＝＝5.【做一做 1－3】 D a⊥b，∴4×6＋2m＝0，解得 m＝－12.【做一做 1－4】 |a|＝＝3，|b|＝＝5，a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，则 cos θ＝＝＝－.又 0≤θ≤π，∴θ＝，即 a 与 b 的夹角为.1．投影的坐标表示剖析：由于向量 b＝(x2，y2)在向量 a＝(x1，y1)方向上的投影为|b|·cos θ＝＝(θ为 a 与 b 的夹角)，从而向量 b 在向量 a 方向上的投影的坐标表示为.同理可得，向量 a 在向量 b 方向上的投影的坐标表示为|a|cos θ＝＝＝.2．向量数量积性质的坐标表示剖析：设两个非零向量 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，a 与 b 的夹角为 θ.(1)a·b＝a1b1＋a2b2；(2)a⊥ba1b1＋a2b2＝0；(3)a·a＝|a|2|a|＝；(4)cos θ＝cos θ＝；(5)|a·b|≤|a||b||a1b1＋a2b2|≤·.在解决向量数量积的坐标运算问题时，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式 a·b＝a1b1＋a2b2以及相关的向量的长度公式和夹角公式．在这个过程中还要熟练运用方程的思想．值得注意的是，对于一些向量数量积的坐标运算问题，有时考虑其几何意义...
