2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角疱工巧解牛知识•巧学一、两个向量数量积的坐标表示设 a=(x1 ， y1) ， b=(x2 ， y2) ， 取 与 x 轴 、 y 轴 分 别 同 向 的 两 个 单 位 向 量 i 、 j ， 则a=(x1 ， y1)=x1i+y1j ， b=(x2 ， y2)=x2i+y2j. 由 数 量 积 的 定 义 可 知 ：i·i=1，j·j=1，i·j=0，j·i=0.所以 a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2=x1x2+y1y2.学法一得 通过坐标形式用 i、j 表示以后，数量积的运算就类似于多项式的乘法，展开后再合并同类项 .也就是“两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和”，即a·b=x1x2+y1y2.引入坐标后，把向量的数量积的运算与两向量的坐标运算联系起来，即可用 a·b=|a||b|cosθ=x1x2+ y1y2来求值.二、向量的模的坐标表示和平面内两点间的距离公式1.a·a=(xi+yj)·(xi+yj)=x2+y2.又 a·a=a2=|a|2，∴|a|2=x2+y2.∴|a|=.2.平面直角坐标系下的两点间的距离等于以这两点中的一个点为起点，另一个点为终点的向量的模.图 2-4-4已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1)，所以||=.这就是平面内两点间的距离公式.学法一得 向量 a 的模|a|=也具有一定的几何意义，即 |a|= ，通过简单的构造，它表示点(x，y)到原点(0，0)的距离.3.向量垂直的坐标表示我们已经知道平面上两个向量 b=(x2，y2)，a=(x1，y1)共线的充要条件：x1y2-x2y1=0.由数量积的定义看，a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2，已知两向量垂直的充要条件是 a·b=0，可得 a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.学法一得 公式 x1x2+y1y2=0 是判定两个向量垂直的条件，在实际中可通过它来证明两个向量垂直或三角形为直角三角形或四边形为矩形等.4.用平面向量数量积的坐标公式计算两个向量的夹角设 a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，由数量积的定义a·b=|a||b|cosθ，得 cosθ=，即 cosθ=.学法一得 利用此公式，可直接求出两向量的夹角.典题•热题知识点一 平面内两点间的距离公式例 1 已知 A(-3，4)，B(5，2)，则||=___________.解：直接利用公式.||=.也可先求，再求||. =(5，2)-(-3，4)=(8，-2)，∴||.知识点二 两个非零向量的数量积与垂直例 2 已知四边形 ABCD 的顶点分别为 A(2，1)，B(5，4)，C(2，7)，D(-1，4)，求证：四边形 ABCD 是正方形.证明： A(2，1)，B(5，4)，C(2，7)，D(-1，4)，∴AB=(5-2，4-1)=(3，3)，=(2+1，7-4...
