高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义，会作向量 ma＋nb.2．熟练掌握和运用向量数乘的运算律，会化简向量关系式，并能用已知向量表示未知向量．3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线．1．向量的数乘定义一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个______，这种运算叫做向量的数乘，记作λa长度|λa|＝|λ||a|方向λ＞0λa 的方向与 a 的方向______λ＝0λa＝____λ＜0λa 的方向与 a 的方向____① 实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个向量，不是实数；但实数与向量不能进行加减运算，如 λ＋a，λ－a 是错误的．② 对任意非零向量 a，则向量是与向量 a 同向的单位向量．③λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．【做一做 1】 已知非零向量 a，b 满足 a＝4b，则( )A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|C．a 与 b 的方向相同 D．a 与 b 的方向相反2．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设 λ，μ 为实数，则(1)λ(μa)＝________；(2)(λ＋μ)a＝________；(3)λ(a＋b)＝________(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝______＝______，λ(a－b)＝______.在△ABC 中，D 是 BC 的中点，则有AD＝(AB＋AC)．【做一做 2】 3(2a－4b)等于( )A．5a＋7b B．5a－7b C．6a＋12b D．6a－12b3．共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使______．(1)向量共线的条件：当向量 a＝0 时，a 与任一向量 b 共线；当向量 a≠0 时，对于向量 b，如果有一个实数 λ，使 b＝λa，那么由实数与向量的积的定义知 b 与 a 共线．反之，已知向量 b 与 a(a≠0)共线且向量 b 的长度是向量 a 长度的 λ 倍，即|b|＝λ|a|，那么当 b 与 a 同方向时 b＝λa，当 b 与 a 反方向时 b＝－λa.(2)如果向量 a 与 b 不共线，且 λa＝μb，那么 λ＝μ＝0.已知三点 A，B，C 共线，O 是平面内任意一点，则有OC＝λOA＋mOB，其中 λ＋m＝1.【做一做 3】 已知 P 是线段 MN 的中点，则有( )A.MN＝2NP B.MP＝MNC.PN＝NM D.MP＝NP4．向量的线性运算向量的____、____、______运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a，b 以及任意实数 λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝________.向量 λ(μ1a＋μ2b)可以用平行四边形法则作出，如图所示，OE＝λ(μ1a＋μ2b)．【做一做 4】 在...