2.2.3 向量数乘运算及其几何意义互动课堂疏导引导1.向量数乘的定义及几何意义（1）实数 λ 与 a 的积是一个向量，记作 λa，它的长|λa|=|λ|·|a|.它的方向是这样定义的：当 a≠0 时，λ＞0，λa 与 a 同向；λ＜0，λa 与 a 反向；当 λ=0 或 a=0 时，0a=0或 λ0=0.(2)根据向量数乘的定义,a 与 λa 为共线向量，两者方向相同或相反（a≠0，λ≠0），在此前提下，λa 可以理解为把 a 的长度扩大（|λ|＞1）或缩小（|λ|＜1）.由此可得向量数乘的几何意义：就是把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小.疑难疏引① λa 中的实数 λ，叫做向量 a 的系数，此系数决定着 λa 与 a 的模的关系及方向相同或相反.② 向量数乘的特殊情况：当 λ=0 时，λa=0;当 a=0 时，λa=0.③ 实数与向量可以求积，并且结果为一向量，但不能进行加、减运算，如 λ+a，λ-a 根本无意义.2.向量数乘的运算律向量数乘满足下列运算律：设 λ、μ 为实数，则（1）（λ+μ）a=λa+μa;(2)λ(μa)=(λμ)a;(3)λ(a+b)=λa+λb.疑难疏引 向量数乘的运算律与中学代数中实数乘法的运算律极为相似，只是向量的数乘分配律由于因子的不同，可分为（λ+μ）a=λa+μa 和 λ（a+b）=λa+λb.但两者也有区别：中学代数中的实数运算的结果是一个数，只满足一种分配律，而向量的数乘的结果是一个向量，满足两种分配律.3.向量的线性运算向量的加法、减法和向量数乘运算，通常叫做向量的线性运算，也叫做向量的初等运算.案例 1 （1）计算下列各式:①2(a+b)-3(a-b);②3(a-2b+c)-(2c+b-a);③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).(2)设 x、y 是未知向量.① 解方程 5(x+a)+3(x-b)=0,② 解方程组【探究】 要解决（1）中的问题，需要用到数乘向量的运算律.包括：数乘向量的分配律及向量加、减法的运算律，其运算过程，类似“合并同类项”.（2）是解关于未知向量的方程或方程组，它与解关于未知数的方程或方程组是类似的，在计算过程中应遵守向量加、减法及向量数乘的运算律.【解】（1）① 2(a+b)-3(a-b)=2a+2b-3a+3b=-a+5b.②3(a-2b+c)-(2c+b-a)=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c.③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=a-b-a-b+a+b=(-+)a +(--+)b=0a+0b=0.(2)① 原方程可变为 5x+5a+3x-3b=0,8x=-5a+3b.∴x=.② 把第 1 个方程的-2 倍与第 2 个方程相加，得y=-2a+b,从而 y=-a+b.代入原来第 2个方程得 x=-a+b.∴【规律总结】 向量的线性运算的最终...
