2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课堂导学三点剖析1.向量数乘的定义及其运算律【例 1】化简［（4a-3b）+b-(6a-7b)］=___________________.思路分析：利用数乘运算的运算律将括号去掉，然后合并各向量即可.原式=［4a-3b+b-a+b］=［(4-)a+(-3++)b］=［a-b］=.答案：温馨提示（1）向量的加法、减法、数乘的混合运算，类似于代数运算中的合并同类顶，只不过现在的同类项是指共线向量.（2）熟练掌握数乘运算的结合律和分配律是解决这类问题的关键.2.向量数乘的应用【例 2】 已知：如右图△ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点.求证：DEBC.思路分析：只需证明=即可.证明：因为 D、E 分别为 AB、AC 的中点，故=，=.=-=(-)=.而 D、B 不重合，所以 DEBC.温馨提示 向量共线可以判断几何中三点共线和两直线平行的问题.但直线平行不包括重合的情况.【例 3】如下图，D、E、F 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点，且=a，=b.求证：（1）=-a-b;（2）=a+b；（3）=-a+b；（4）++=0.思路分析：想办法找到已知向量和所求的向量的联系.证明：（1）=+=-b-a；(2)=+=a+b;（3）=+=+=b+(+)=b+(-b-a)=-a+b;(4)++=-a-b-a+b+a+b=0.温馨提示 用已知向量表示未知向量的问题，一般是运用三角形法则或平行四边形法则建立已知向量和未知向量的联系.3.对向量数乘的概念的再理解【例 4】 已知 a，b 是两个非零向量，判断下列各命题的真假：（1）2a 的方向与 a 的方向相同，且 2a 的模是 a 的模的 2 倍；（2）-2a 的方向与 5a 的方向相反，且-2a 的模是 5a 的模的倍；（3）-2a 与 2a 是一对相反向量；（4）a-b 与-（b-a）是一对相反的向量.解：（1）真命题. 2＞0,∴2a 与 a 的方向相同,又|2a|=2|a|,∴命题①是真命题.（2）真命题. 5＞0,∴5a 与 a 方向相同，且|5a|=5|a|，而-2＜0,∴-2a 与 a 的方向相反，|-2a|=2|a|.∴-2a 与 5a 的方向相反，且模是 5a 的.故（2）是真命题.（3）真命题.依据相反向量的定义及实数与向量乘积的定义进行判断.（4）假命题. a-b 与 b-a 是一对相反向量,∴a-b 与-（b-a）是一对相等向量.故（4）是假命题.各个击破类题演练 1将［2(2a+8b)-4(4a-2b)］化简成最简式为（ ）A.2a-b B.2b-a C.a-b D.b-a解析：原式=［（4a-16a）+（16b+8b）］=(-12a+24b)=2b-a.答案：B变式提升 1若 2(x-a)-(b+c-3x)+b=0,其中 a、b、c 为已知向量，则未知向量 x=_____________.解析：原式变形为 2x-a-b...
