2.2.3 向量数乘运算及其几何意义疱工巧解牛知识•巧学一、向量的数乘1.向量的数乘 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.它的长度与方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|；(2)当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当λ=0 时，λa=0.实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广，λa 是一个向量，其长度|λa|=|λ||a|，其方向与 λ 的符号有关，应注意 0a=0 而不是实数 0.2.向量的数乘的几何意义 由实数与向量积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩. 当|λ|＞1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长了|λ|倍；当|λ|＜1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短了|λ|倍.图 2-2-343.向量数乘的运算律设 λ、μ 为实数，那么(1)λ(μa)=(λμ)a；(2)(λ+μ)a=λa+μa；(3)λ(a+b)=λa+λb.学法一得 实数与向量的积的运算律与中学代数运算中实数乘法的运算律很相似.证明这些运算律成立的关键是证明等式两边的向量的模相等，且方向相同.证明：(1)如果 λ=0，μ=0，a=0 中至少有一个成立，则(1)式显然成立.如果 λ≠0，μ≠0，且 a≠0，有|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|，|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|.∴|λ(μa)|=|(λμ)a|.(2)如果 λ=0，μ=0，a=0 中至少有一个成立，则(2)式显然成立.如果 λ≠0，μ≠0 且 a≠0，可分如下两种情况：当 λ、μ 同号时，则 λa 和 μa 同向，所以|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|，|λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|，即有|(λ+μ)a|=|λa+μa|.(3)当 a=0，b=0 中至少有一个成立，或 λ=0，λ=1 时，(3)式显然成立.当 a≠0，b≠0 且 λ≠0，λ≠1 时，分如下两种情况： 当 λ＞0 且 λ≠1 时，在平面内任取一点 O，作=a，=b，=λa，=λb，如图 2-2-35 所示，则=a+b，=λa+λb.图 2-2-35由作法知∥，有∠OAB=∠OA1B1，||=λ||，∴=λ.∴△OAB∽△OA1B1.∴=λ，∠AOB=∠A1OB1.因此，O、B、B1在同一条直线上，||=|λ|，与 λ的方向也相同.∴λ(a+b)=λa+λb.当 λ＜0 时，由图 2-2-36 可类似证明 λ(a+b)=λa+λb.图 2-2-36∴(3)式成立.误区警示 分类讨论的思想在数学中既是一个重要的策略思想，也是一个重要的思想...
