2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件课堂导学三点剖析 一、两向量共线的判断 利用 a=λb 和坐标表示 x1y2-x2y1=0 来判断.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,则 a 与 b共线的条件是 a=λb;用坐标表示可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),即消去 λ 后得 x1y2-x2y1=0,也就是说,当且仅当 x1y2-x2y1=0 时,向量 a、b(b≠0)共线.【例 1】 判断下列向量 a 与 b 是否平行:(1)a=(,),b=(-2,-3);(2)a=(0.5,4),b=(-8,64);(3)a=(2,3),b=(3,4);(4)a=(2,3),b=(,2).思路分析：设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a∥ba1b2-a2b1=0.解：(1)×(-3)-×(-2)=+=0,∴a∥b. (2)0.5×64-4×(-8)=32+32=64≠0,∴ab.(3)2×4-3×3=8-9=-1≠0,∴ab.(4)2×2-3×()=4+4=8≠0,∴ab.温馨提示由于 a2≠0,b2≠0,因此也可以这样判定:(1),∴a∥b.(2),∴.∴ab.(3)≠,∴ab.(4)≠,∴ab.各个击破类题演练 1已知 A(-2,-3),B(2,1),C(1,4),D(-7,-4),判断与是否共线?思路分析:判断两个向量是否共线,可直接利用坐标形式的条件 x1y2-x2y1=0 来判断.解:=(2,1)-(-2,-3)=(4,4),=(-7,-4)-(1,4)=(-8,-8), 4×(-8)-4×(-8)=0,∴∥,即和共线.变式提升 1a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向还是反向?解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ 使 ka+b=λ(a-3b),由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得解得 k=λ=-.∴当 k=-时,ka+b 与 a-3b 平行,这时 ka+b=-a+b=-(a-3b). λ=-<0,∴ka+b 与 a-3b 反向.解法二:由解法一知 ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4), ka+b 与 a-3b 平行,∴(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得 k=-,此时 ka+b=(--3,+2)=-(a-3b).∴当 k=-时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向. 二、坐标法证三点共线问题证明三点共线(或两直线平行、重合)(1)证明两直线平行,可通过证这两直线上的两向量共线,且无公共点.(2)证明三点共线,可通过证由这三点构成的两个向量共线,且有公共点.(3)证三点共线常见的方法还有:证得两条较短的线段之和等于第三条线段的长度,以及利用斜率或直线方程,证明三点为顶点的三角形面积为零等.【例 2】 如果向量=i-2j，=i+mj，其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数 m 的值，使 A、B、C 三点共线.思路分析：只需根据向量共线的条件，解关于 m 的方程即可.解法一: A、B、C 三点共线即、共线，∴存在实数 λ...
