高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件课堂探究学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件课堂探究探究一 平面向量共线问题利用平面向量坐标表示向量共线，可以将几何证明问题转化为代数运算．【例 1】 已知 A，B，C 三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，＝，＝，求证∥．证明：设 E，F 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意知：＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)，所以＝＝，＝＝，所以(x1，y1)－(－1,0)＝，(x2，y2)－(3，－1)＝，所以(x1，y1)＝，(x2，y2)＝，所以＝(x2，y2)－(x1，y1)＝－＝．因为 4×－(－1)×＝0，所以∥．探究二 三点共线问题及其应用利用向量证明三点共线的思路：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ，使得两个向量共线．由于两个向量还过同一点，所以两个向量所在的直线必重合，即三点共线．若 A，B，C 三点共线，则由这三个点组成的任意两个向量共线．【例 2】 如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中 i，j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数 m 的值，使 A，B，C 三点共线．分析：解答本题可直接利用向量共线的条件来求解，也可根据单位向量 i，j，利用向量的直角坐标进行运算．解：方法一：因为 A，B，C 三点共线，即，共线，所以存在实数 λ，使得＝λ，即 i－2j＝λ(i＋mj)．于是所以 m＝－2．故当 m＝－2 时，A，B，C 三点共线．方法二：依题意，知 i＝(1,0)，j＝(0,1)，则＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．而，共线，所以 1×m－1×(－2)＝0．所以 m＝－2．故当 m＝－2 时，A，B，C 三点共线．【例 3】 已知三点 A(0,8)，B(－4,0)，C(5，－3)，点 D 在线段 AB 上，且满足＝．点 E 在 BC 上，若△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求点 E 的坐标．解：如图，因为=，所以=．过点 D 作⊥BC 于点，过点 A 作⊥BC 于点，则∥，且=．于是 S△BDE∶S△ABC===．所以=．从而得=2，即=2．因为 B(-4,0)，C(5，-3)，设 E(x，y)，则(x+4，y)=2(5-x，-3-y)，解得所以 E 点坐标为(2，-2)．【例 4】 如图所示，已知直角梯形 ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点 C 作 CE⊥AB于点 E，M 为 CE 的中点，用向量的方法证明：(1)DE∥BC；(2)D，M，B 三点共线．分析：利用向量法证明几何问题，首先是建立适当的直角坐标系，将图中点的坐标转化为向量坐标．证明：以 E 为原点，AB 所在直线为 x 轴，EC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，令||＝1，则||...