高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列（一）学案 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案VIP专享

2.4 等比数列（一）[学习目标] 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程．知识点一 等比数列的概念1．定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q≠0)．2．递推关系在数列{an}中，若＝q(n∈N*)，q 为非零常数，则数列{an}是等比数列．思考 1 下列数列一定是等比数列的是________．(1)1，3，32，33，…，3n－1，…；(2)－1，1，2，4，8，…；(3)a1，a2，a3，…，an，….答案 (1)解析 (1)记数列为{an}，显然 a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，….因为＝＝3(n≥1，n∈N*)，所以此数列为等比数列，且公比为 3.(2)记数列为{an}，显然 a1＝－1，a2＝1，a3＝2，….因为＝－1≠＝2，所以此数列不是等比数列．(3)当 a＝0 时，数列为 0，0，0，…，是常数列，不是等比数列；当 a≠0 时，数列为 a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为 a.∴只有(1)一定是等比数列．思考 2 若数列{an}满足 an＋1＝2an(n∈N*)，那么{an}是等比数列吗？答案 不一定．当 a1＝0 时，按上述递推关系，该数列为常数列，且常数为 0，故{an}不一定为等比数列．知识点二 等比中项的概念如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，且 G＝±.知识点三 等比数列的通项公式已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q(q≠0)，该等比数列的通项公式为 an＝ a 1q n － 1 ．思考 1 已知等比数列{an}中，a1＝1，a3＝9，则 a2＝______．答案 ±3解析 a3＝a1·q2，∴9＝q2，∴q＝±3，∴a2＝a1q＝±3.思考 2 除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式．答案 还可以用累乘法．当 n＞2 时，＝q，＝q，…，＝q，上述各式相乘得·…＝qn－1，∴＝qn－1，∴an＝a1qn－1(n＞2)，当 n＝1 时，a1＝a1q1－1，符合上式，当 n＝2 时，a2＝a1·q2－1，符合上式，∴an＝a1qn－1(n∈N*)．题型一 等比数列的通项公式及应用例 1 在等比数列{an}中，(1)已知 an＝128，a1＝4，q＝2，求 n；(2)已知 an＝625，n＝4，q＝5，求 a1；(3)已知 a1＝2，a3＝8，求公比 q 和通项公式．解 (1) an＝a1·qn－1，∴4·2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.(2)a1＝＝＝5，故 a1＝5.(3)a3＝a1·q2，...