2.5 等比数列的前 n 项和（1）学习目标 1.掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一 等比数列的前 n 项和公式的推导思考 对于 S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用 2 乘以等式的两边可得 2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出 S64?答案 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出 S64，即 S64＝＝264－1.梳理 设等比数列{an}的首项是 a1，公比是 q，前 n 项和 Sn可用下面的“错位相减法”求得．Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①则 qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.②由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn.当 q≠1 时，Sn＝.当 q＝1 时，由于 a1＝a2＝…＝an，所以 Sn＝na1.结合通项公式可得：等比数列前 n 项和公式：Sn＝知识点二 等比数列的前 n 项和公式的应用思考 要求等比数列前 8 项的和：(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？(2)若已知 a1，a9，q 的值．用哪个公式比较合适？答案 (1)用 Sn＝.(2)用 Sn＝.梳理 一般地，使用等比数列求和公式时需注意：(1) 一定不要忽略 q＝1 的情况；(2) 知道首项 a1、公比 q 和项数 n，可以用；知道首尾两项 a1，an和 q，可以用；(3) 在通项公式和前 n 项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个．类型一 等比数列前 n 项和公式的应用命题角度 1 前 n 项和公式的直接应用例 1 求下列等比数列前 8 项的和：(1)，，，…；(2)a1＝27，a9＝，q<0.解 (1)因为 a1＝，q＝，所以 S8＝＝.(2)由 a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.又由 q<0，可得 q＝－.所以 S8＝＝.反思与感悟 求等比数列前 n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意 q＝1是否成立．跟踪训练 1 若等比数列{an}满足 a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比 q＝________；前 n 项和 Sn＝________.1答案 2 2n＋1－2解析 设等比数列的公比为 q， a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴20q＝40，且 a1q＋a1q3＝20，解得 q＝2，且 a1＝2.因此 Sn＝＝2n＋1－2.命题角度 2 通项公式、前 n 项和公式的综合应用例 2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求 a3和 q.解 由题意，得若 q＝1，则 S3＝3a1＝6，符合题意．此时，q＝1，a3＝a1＝2.若 q≠1，则由等比数列的前 n 项和公式，得 S3＝＝＝6，解得 q＝－2...
