高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质学案（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学学案

2.3.2 抛物线的简单几何性质第 1 课时 抛物线的简单几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一 抛物线的几何性质思考 观察下列图形，思考以下问题：观察焦点在 x 轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？答案 抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．梳理 标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x 轴y 轴顶点(0,0)焦点准线x＝－x＝y＝－y＝离心率e＝1知识点二 焦点弦的性质如 图 ， AB 是 过 抛 物 线 y2 ＝ 2px(p>0) 焦 点 F 的 一 条 弦 ， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0，y0)，相应的准线为 l.(1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切．(2)|AB|＝2(焦点弦长与中点关系)．(3)|AB|＝x1＋x2＋p.(4)若直线 AB 的倾斜角为 α，则|AB|＝.如当 α＝90°时，AB 叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的．(5)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1·x2＝，y1·y2＝－p2.1．抛物线关于顶点对称．( × )2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( √ )3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( √ )类型一 抛物线几何性质的应用例 1 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程．考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 由题意，设抛物线方程为 y2＝2mx(m≠0)，焦点 F，直线 l：x＝，所以 A，B 两点坐标为，，所以|AB|＝2|m|.因为△OAB 的面积为 4，所以·||·2|m|＝4，所以 m＝±2.所以抛物线的标准方程为 y2＝±4x.引申探究 等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB 的面积是( )A．8p2B．4p2C．2p2D．p2答案 B解析 因为抛物线的对称轴为 x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线 AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线 OA 与 x 轴的夹角为 45°....