第八章 向量的数量积与三角恒等变换8．1 向量的数量积8．1.1 向量数量积的概念[课程目标] 1.理解平面向量数量积的含义．2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3．提高分析事物间相互联系的能力，培养学科间相互渗透的学习意识．[填一填]1．两个向量的夹角(1)给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点 O，作OA＝a，OB＝b，则称[0，π]内的∠ AOB 为向量 a 与向量 b 的夹角，记作〈 a ， b 〉 ．并且有〈a，b〉＝〈 b ， a 〉 ．(2)当〈a，b〉＝时，称向量 a 与向量 b 垂直，记作 a ⊥ b .在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．(3)当〈a，b〉＝0 时，a 与 b 同向；当〈a，b〉＝π 时，a 与 b 反向；当〈a，b〉＝或 a 与 b 中至少有一个为零向量时，a⊥b.2．向量的数量积(内积)(1)当 a 与 b 都是非零向量时，称| a || b |cos 〈 a ， b 〉 为向量 a 与 b 的数量积(也称为内积)，记作 a·b，即 a·b＝| a || b |cos 〈 a ， b 〉 ．(2)两向量的数量积不是向量而是实数，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异．(3)a 与 b 垂直的充要条件是它们的数量积为 0，即 a ⊥ b ⇔ a · b ＝ 0 .3．向量的投影与向量数量积的几何意义(1)设非零向量AB＝a，过 A、B 分别作直线 l 的垂线，垂足分别为 A′、B′，则称向量A′B′为向量 a 在直线 l 上的投影向量或投影．(2)如果 a，b 都是非零向量，则称| a |cos 〈 a ， b 〉为向量 a 在向量 b 上的投影的数量．(3)向量数量积的几何意义：两个非零向量 a，b 的数量积 a·b，等于 a 在向量 b 上的投影的数量与 b 的模的乘积．4．平面向量的数量积的性质(1)如果 e 是单位向量，则 a·e＝e·a＝| a |cos 〈 a ， e 〉 ；(2)a⊥b⇒a · b ＝ 0 ，且 a · b ＝ 0 ⇒a⊥b；(3)a·a＝| a | 2 即| a | ＝；(4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)；(5)|a·b|≤|a||b|.[答一答]1．如何理解平面向量的数量积？提示：(1)此定义式同时也是两向量数量积的计算式．(2)向量的数量积 a·b，不能表示为 a×b 或 ab.(3)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．(4)a·b 的几何意义是：a 的长度与 b 在 a 方向上的射影的数量的乘积或 b 的长度与 a 在 b方向上的射影的数量的乘积．2．怎样确定两向量数量...
