第八章 向量的数量积与三角恒等变换8．1 向量的数量积8．1
1 向量数量积的概念[课程目标] 1
理解平面向量数量积的含义．2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3．提高分析事物间相互联系的能力，培养学科间相互渗透的学习意识．[填一填]1．两个向量的夹角(1)给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点 O，作OA＝a，OB＝b，则称[0，π]内的∠ AOB 为向量 a 与向量 b 的夹角，记作〈 a ， b 〉 ．并且有〈a，b〉＝〈 b ， a 〉 ．(2)当〈a，b〉＝时，称向量 a 与向量 b 垂直，记作 a ⊥ b
在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．(3)当〈a，b〉＝0 时，a 与 b 同向；当〈a，b〉＝π 时，a 与 b 反向；当〈a，b〉＝或 a 与 b 中至少有一个为零向量时，a⊥b
2．向量的数量积(内积)(1)当 a 与 b 都是非零向量时，称| a || b |cos 〈 a ， b 〉 为向量 a 与 b 的数量积(也称为内积)，记作 a·b，即 a·b＝| a || b |cos 〈 a ， b 〉 ．(2)两向量的数量积不是向量而是实数，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异．(3)a 与 b 垂直的充要条件是它们的数量积为 0，即 a ⊥ b ⇔ a · b ＝ 0
3．向量的投影与向量数量积的几何意义(1)设非零向量AB＝a，过 A、B 分别作直线 l 的垂线，垂足分别为 A′、B′，则称向量A′B′为向量 a 在直线 l 上的投影向量或投影．(2)如果 a，b 都是非零向量，则称| a |cos 〈 a ， b 〉为向量 a 在向量 b 上的投影的数量．(3)向量数量积的几何意义：两个非零向量 a，b 的数量积 a·b，等于 a 在向量 b 上的投影的数量与 b 的模的
