8．1.2 向量数量积的运算律[课程目标] 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．[填一填]平面向量数量积的运算律(1)交换律：a · b ＝ b · a ；(2)分配律：( a ＋ b )· c ＝ a · c ＋ b · c ；(3)数乘向量结合律：对任意实数 λ，有 λ ( a · b ) ＝ ( λ a )· b ＝ a ·( λ b ) ．[答一答]应用两向量数量积运算应避免哪些思维误区？提示：(1)向量的数量积运算不满足消去律．同学们在学习中容易错误地认为：由 b·c＝c·a(其中 c≠0)，可以约去 c 而得到 b＝a.事实上，a 与 b 完全可以方向不同．处理等式 b·c＝c·a 的手段是移项提取，即 c·(a－b)＝0，所以 c⊥(a－b)．(2)向量的数量积运算同样也不满足乘法结合律．由于实数满足(a·b)·c＝a·(b·c)，从而容易错误地认为向量的数量积也满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．可以这样理解：(a·b)·c 是与 c 共线的向量，a·(b·c)是与 a 共线的向量，显然 a 与 c 不一定同向，所以二者一般不相等．类型一 向量数量积的运算律 [例 1] 给出下列结论：① 若 a≠0，a·b＝0，则 b＝0；②若 a·b＝b·c，则 a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④ a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．[解析] 因为两个非零向量 a，b 垂直时，a·b＝0，故①不正确；当 a＝0，b⊥c 时，a·b＝b·c＝0，但不能得出 a＝c，故②不正确；向量(a·b)c 与 c 共线，a(b·c)与 a 共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．[答案] ④向量的数量积 a·b 与实数 a，b 的乘积 a·b 有联系，同时有许多不同之处．例如，由 a·b＝ 0 不 能 得 出 a ＝ 0 或 b ＝ 0. 特 别 是 向 量 的 数 量 积 不 满 足 结 合 律 ， 即 一 般 情 况 下(a·b)·c≠a·(b·c)．[变式训练 1] 设 a，b，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b 不与 c 垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的序号是①③④.解析：根据向量的数量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b 与 c 垂直，②错误；因为 a，b 不共线，所...
