8．1.3 向量数量积的坐标运算[课程目标] 1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．[填一填]1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示(1)向量内积的坐标运算已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋ y 1y2.(2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 .2．向量的长度，距离和夹角公式(1)向量的长度已知 a＝(x1，y1)，则|a|＝.(2)两点间的距离如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.(3)两向量的夹角设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 cos〈a，b〉＝.[答一答]1．向量数量积的运算性质怎样用坐标表示？提示：设单位向量 e＝(1,0)，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．(1)a·e＝e·a⇔a1＝cos〈a，e〉；(2)a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；(3)a·a＝|a|2⇔|a|＝；(4)cos〈a，b〉＝⇔cos〈a，b〉＝；(5)|a·b|≤|a||b|⇔|a1b1＋a2b2|≤·.2．垂直向量和平行向量的坐标有什么关系？提示：已知 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．(1)如果 a⊥b，则 a1b1＋a2b2＝0；反之，如果 a1b1＋a2b2＝0，则 a⊥B．(2)如果 a⊥b，则向量(a1，a2)与(－b2，b1)平行．这是因为由 a⊥b，得 a1b1＋a2b2＝0(*)，当 b1b2≠0 时，*式可以表示为＝，即向量(a1，a2)与(－b2，b1)平行．(3)对任意实数 k，向量 k(－b2，b1)与向量(b1，b2)垂直．运用向量垂直的条件，可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系求参数．3．应用两向量的夹角公式应注意什么问题？提示：(1)运用向量内积的坐标运算求两向量的夹角，cos〈a，b〉的符号由 a1b1＋a2b2确定，若 a1b1＋a2b2＝0，则〈a，b〉＝，此时 a⊥b；若 a1b1＋a2b2>0，则〈a，b〉∈；若 a1b1＋a2b2<0，则〈a，b〉∈.(2)当 cos〈a，b〉＝±1 时，向量 a 与 b 共线，若 a 与 b 同向时，a1b1＋a2b2＝·；若 a 与 b反向时，a1b1＋a2b2＝－·.运用此公式可以求平面内任意两个非零向量的夹角．类型一 向量数量积的坐标运算[例 1] 已知向量 a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)．[分析] 直接应用公式 a·b＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2进行求解．[解] (1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.(2) a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a－b＝2×(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(...
