第 2 课时 两角和与差的正切[课程目标] 1.理解两角和与差的正切公式的推导．2．掌握公式的正、逆向及变形运用．3．能够灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明．[填一填]1．两角和与差的正切公式tan(α＋β)＝，(Tα＋β)tan(α－β)＝.(Tα－β)2．公式的推导tan(α＋β)＝＝，把后面一个分式的分子、分母分别除以 cosαcosβ(cosαcosβ≠0)得：tan(α＋β)＝.以－β 代替上式中 β 可得 tan(α－β)＝tan[ α ＋ ( － β )] ＝＝.[答一答]1．运用两角和与差的正切公式时应注意哪些问题，公式有哪些应用？提示：(1)公式 Tα＋β成立的条件是：α≠kπ＋，β≠kπ＋，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．(2)公式 Tα－β成立的条件是：α≠kπ＋，β≠kπ＋，α－β≠kπ＋(k∈Z)，且在从左向右写出等式时，角 α，β 的位置不要写反．应用：由 Tα＋β，Tα－β可知：(1)已知 α，β 的正切值可以求 α＋β 的正切值，实际上在公式中共有 3 个量：tan(α±β)，tanα，tanβ.因此知二求一．(2)利用公式可以进行求值、化简、证明三角恒等式．(3)特别地，当 α＝45°时，tan(45°±θ)＝.2．两角和与差的正切公式有哪些常见变形？提示：对于公式 tan(α＋β)＝而言，两边都是角的正切，因此，可以有以下一些变形：(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；(2)tanαtanβ＝1－；(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)；(4)当 β＝时，tan(α＋β)＝tan＝.对于公式 tan(α－β)＝，也有类似的结论．类型一 两角和与差的正切公式的直接应用命题视角 1：公式的正用[例 1] 已知 sinα＝－，α 是第四象限角，求 tan，tan 的值．[分析] 已知 sinα 的值，求 tan 用两角差的正切公式，而求 tan 则只能用诱导公式来做．[解] 因为 sinα＝－，α 是第四象限角，得cosα＝＝＝，tanα＝＝＝－.于是有 tan＝＝＝－7.tan＝＝＝＝＝.在运用正切的和差角公式来解题时一定要注意公式成立的条件.[变式训练 1] (1)求 tan105°的值；(2)已知 cosθ＝－，θ∈，求 tan 的值．解：(1)tan105°＝tan(180°－75°)＝－tan75°＝－tan(45°＋30°)＝－＝－＝－＝－2－.(2) cosθ＝－，θ∈，∴sinθ＝－＝－，∴tanθ＝＝.∴tan＝＝＝－.命题视角 2：公式的逆用及变形应用[例 2] 求下列各式的值：(1)；(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)……(1＋tan44°)；(3)tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°.[分析] ...
