8．2.3 倍角公式[课程目标] 1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系．2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式并能运用这些公式进行简单的恒等变换．[填一填]1．倍角公式sin2α＝2sin α cos α ，(S2α)cos2α＝cos 2 α － sin 2 α ＝2cos 2 α － 1 ＝1 － 2sin 2 α ，(C2α)tan2α＝.(T2α)上面三组公式，称作倍角公式．2．倍角公式的推导在公式 Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β中，分别令 β＝α，得sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α；tan2α＝tan(α＋α)＝＝.即 sin2α＝2sinαcosα，简记为 S2α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，简记为 C2α；tan2α＝，简记为 T2α.[答一答]1．应用倍角公式应注意哪些问题？提示：(1)在 S2α、C2α中，α 是任意角．(2)在 T2α中，α≠kπ＋，且 α≠＋(k∈Z)时公式成立(因为 α＝＋kπ(k∈Z)时，tanα 的值不存在；当 α＝＋(k∈Z)时，tan2α 的值不存在)．当 α＝＋kπ(k∈Z)时，虽然 tanα 的值不存在，但 tan2α 的值是存在的．这时求 tan2α 的值可以利用诱导公式，即 tan2α＝tan2＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0.(3)倍角公式是和角公式的特例，且在一般情况下，sin2α≠2sinα，如 sin≠2sin，当且仅当 α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα 成立，同样，在一般情况下，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.(4)倍角公式不仅可运用于 2α 是 α 的 2 倍角的情况，还可以运用于诸如 4α 作为 2α 的 2倍，α 作为的 2 倍，3α 作为的 2 倍，α＋β 作为的 2 倍的情况等等．要熟练地利用倍角公式，必须熟悉什么样的两个角成 2 倍关系，例如：sin＝2sincos，cos＝cos2－sin2.2．倍角公式有哪些方面的应用？提示：(1)有了二倍角的三角函数公式，就可以用单角的三角函数来表示二倍角的三角函数．(2)有了二倍角的三角函数公式，可以对某些类似的式子进行化简求值(角)、证明三角函数式．(3)要熟悉这组公式的逆用．如sin3αcos3α＝sin6α，4sincos＝2·＝2sin，＝tan2α，cos22α－sin22α＝cos4α.3．二倍角公式有哪些常见的变形形式？提示：升幂公式：① 1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2，1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.降幂公式：c...
