高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换 8.2.4 第2课时 积化和差、和差化积公式学案（含解析）新人教B版必修第三册-新人教B版高一必修第三册数学学案

第 2 课时 积化和差、和差化积公式[课程目标] 1.了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程；了解此组公式与两角和与差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力．2．掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．[填一填]1．三角函数的积化和差公式cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]，sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，2．积化和差公式的推导sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，(Sα＋β)，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，(Sα－β)，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，(Cα＋β)，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，(Cα－β)，(Sα＋β)＋(Sα－β)，(Sα＋β)－(Sα－β)，(Cα＋β)＋(Cα－β)，(Cα＋β)－(Cα－β)，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ，cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ，cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ，即 sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，①cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，②cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，③sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]，④公式①②③④叫做积化和差公式．3．三角函数的和差化积公式sinx＋siny＝2sincos，sinx－siny＝2cossin，cosx＋cosy＝2coscos，cosx－cosy＝－ 2sinsin .4．和差化积公式的推导在积化和差的公式中，如果令 α＋β＝θ，α－β＝φ，则 α＝，β＝.把这些值代入积化和差的公式①中，就有sin·cos＝＝(sinθ＋sinφ)．∴sinθ＋sinφ＝2sin·cos.⑤同样可得，sinθ－sinφ＝2cos·sin，⑥cosθ＋cosφ＝2cos·cos，⑦cosθ－cosφ＝－2sin·sin.⑧公式⑤⑥⑦⑧叫做和差化积公式．[答一答]1．积化和差与和差化积公式有哪些特点？提示：(1)积化和差公式的特点① 同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半；② 等式左边为单角 α、β，等式右边是它们的和(差)角；③ 如果左端两函数中有余弦函数，那么右端系数为正，无余弦函数，系数为负．(2)和差化积公式的特点① 余弦函数的和或差化为同名函数之积；② 正弦函数的和或差化为异名函数之积；③ 等式左边为单角 α 和 β，等式右边为与的形式；④ 只...