第 2 课时 向量的数量积的运算律[目标] 1.了解数量积的运算律；2.会用向量数量积的公式解决相关问题．[重点] 会用向量数量积的公式解决相关问题．[难点] 会用向量数量积的公式解决相关问题． 要点整合夯基础 知识点一 向量的数量积的运算律[填一填]已知向量 a，b，c 和实数 λ，有：(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λ b )；(3)(a＋b)·c＝a·c ＋ b·c .[答一答]1．对于向量 a，b，c，等式(a·b)c＝(b·c)a 一定成立吗？提示：不一定成立． 若(a·b)c≠0，其方向与 c 相同或相反，而(b·c)a≠0 时，其方向与 a 相同或相反，而 a 与 c 的方向不一定相同，故该等式不一定成立．2．若 a·b＝a·c(a≠0)，则一定有 b＝c 吗？提示：不一定．可能有 a⊥(b－c)成立．知识点二 向量的数量积的综合应用[填一填]设 a、b 都是非零向量，它们的夹角是 θ，则(1)cosθ＝；(2)a⊥b⇔a · b ＝ 0 ；(3)|a|＝.[答一答]3．对于向量 a，b，等式|a±b|＝＝一定成立吗？提示：成立. 典例讲练破题型 类型一 向量的数量积的运算律[例 1] 已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，试求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[分析] 根据数量积、模、夹角的定义以及数量积的运算，逐一进行计算即可．[解] (1)a·b＝|a|·|b|cos120°＝2×3×(－)＝－3.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34.求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.[变式训练 1] 已知向量 a 与 b 的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，则 a·(2a＋b)等于 2.解析：a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝4－2＝2.类型二 向量的模[例 2] 已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________.[分析] 利用模的公式和数量积的运算律进行求解．[解析] 因为 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，所以|a－3b|＝＝＝＝.[答案] 1要求几个向量线性运算后的模，可先求其平方，利用数量积的计算易解.2已知两个向量线性运算后的模求某个向量的模，可把条件平方后化为所求目标的方程求解.[变式训练 2] 已知单位向量 e1，e2的夹角为 α，且 cosα＝，若向量 a＝3e1...
