高中数学3.备课资料素材（1.1.2　余弦定理）新人教版必修5

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn备课资料一、向量方法证明三角形中的射影定理在△ABC 中,设三内角 A、B、C 的对边分别是 A、B、C. ABCBAC,∴ACABCBACAC)(.∴ACABCBACACAC.∴AACABCCBACACcos)180cos(2.∴.coscosAABCCBAC.∴b-acosC=ccosA,即 B=ccosA+acosC.类似地有 C =acosB+bcosA,a=bcosC +ccosB.上述三式称为三角形中的射影定理.二、解斜三角形题型分析正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素,如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边),那么这个三角形一定可解.关于斜三角形的解法,根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型:(1)已知两角及其中一个角的对边,如 A、B、A,解△ABC.解：①根据 A+B+C= π ,  求出角 C;② 根据CcAaBbAasinsinsinsin及,求 B、C.如果已知的是两角和它们的夹边,如 A、B、C，那么先求出第三角 C,然后按照②来求解.求解过程中尽可能应用已知元素.(2)已知两边和它们的夹角,如 A、B、C,解△ABC.解：①根据 C2=A2+B2-2abcosC,求出边 C;② 根据 cosA=bcacbA2cos222,求出角 A;③ 由 B=180°-A-C,求出角 B.求出第三边 C 后,往往为了计算上的方便,应用正弦定理求角,但为了避免讨论角是钝角还是锐角,应先求 A、B 较小边所对的角(它一定是锐角),当然也可以用余弦定理求解.(3)已知两边及其中一条边所对的角,如 a、b、A,解△ABC.解：①BbAasinsin,经过讨论求出 B;② 求出 B 后,由 A+B+C=180°，求角 C;中鸿智业信息技术有限公司 http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn③ 再根据CcAasinsin,求出边 C.(4)已知三边 A、B、C,解△ABC.解：一般应用余弦定理求出两角后,再由 A+B+C=180°,求出第三个角.另外,和第二种情形完全一样,当第一个角求出后,可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然需注意要先求较小边所对的锐角.(5)已知三角,解△ABC.解：满足条件的三角形可以作出无穷多个,故此类问题解不唯一.三、“可解三角形”与“需解三角形”解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容,也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具．但在具体解题时，有些同学面对较为复杂(即图中三角形不止一个)的斜三角形问题,往往不知如何下手．至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数，这既延长了思考时...