高中数学5.备课资料素材（1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积）新人教版必修2

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn备课资料数学建模法 数学模型方法不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，也是处理科技领域中各种实际问题的一般数学方法.我国从 1992 年开始的一年一度的大学生数学建模竞赛，正得到各大专院校的广泛支持和广大学生的积极参与，全国上下掀起了学数学建模、应用数学建模解决实际问题的高潮，这一切表明数学建模方法在理论上和应用上的重要性.数学建模的过程大概可表示如下：实际问题;抽象、简化、假设，确定变量和参数;建立数学模型并求解，确定参数;用实测数据等来检验该数学模型;回到实际问题. 下面介绍数学模型法解决问题的一个例子：怎样使饮料罐制造用材最省的问题. 首先，把饮料罐假设为正圆柱体（实际上由于制造工艺等要求，它不可能正好是数学上的正圆柱体，但这样简化确实是近似的、合理的）.在这种简化下，我们就可以来明确变量和参数了，例如可以假设： V——罐装饮料的体积，r——半径，h——圆柱高，b——制罐铝材的厚度，k——制造中工艺上必须要求的折边长度. 上面的诸多因素中，我们先不考虑 k 这个因素.于是 V=πr2h，由于易拉罐上底的强度必须要大一点，因而在制造上其厚度为罐的其他部分厚度的 3 倍.因而制罐用材的总面积为A=3πr2b+πr2b+2πrhb=(4πr2+2πrh)b. 每罐饮料的体积是一样的，因而 V 可以看成是一个常数（参数），解出 h=2rV代入 A，得A=A(r)=2πb（2r2+ rV），从而知道，用材最省的问题是求半径 r 使 A(r)达到最小.A(r)的表达式就是一个数学模型.可以用多种精确或近似方法求 A(r)的极小值及相应的 r.易求得：h=3233232)4()4(VVVV=4r,即罐高 h 应为半径 r 的 4 倍. 当你拿起可口可乐、百事可乐、健力宝等饮料罐测量一下时，高 h 和半径 r 的比几乎与上述计算完全一致！其实这一点也不奇怪，这些大饮料公司年生产的罐装饮料都高达几百万罐，甚至更多，因而从降低成本和获取利润的角度，这些大公司的设计部门一定会考虑在同样工艺条件、保证质量前提下用材最省的问题.大家还可以把折边 k 这一因素考虑进去，然后得到相应的数学模型，并求解之，最后看看与实际符合的程度如何. 这个问题的解答可以给我们很多启发，我们会发现现实生活中有许多的类似问题.例如，当你到民航售票处去买国际机票时，你在机票上会看到像“免费交运的行李为两件，每件最大体积（三边之和）不得超过 62 英寸（158 cm），但两件之...