备课资料一、课外阅读算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)(1)设 a1，a2，a3，…，a n为正实数，这 n 个数的算术平均值记为 A，几何平均值记为 G，即naaaAn...21＝，,...21nnaaaG 即 A≥G,当且仅当 a1＝a2＝…＝an时，A＝G.特别地当n＝2 时，abba2,当 n＝3 时，33abccba. (2)用局部调整法证明均值不等式 A≥G.设这 n 个正数不全相等.不失一般性，设 0＜a1≤a2≤…≤a n，易证 a 1＜A＜a n，且 a1＜G＜an.在这 n 个数中去掉一个最小数 a1，将 a 1换成 A，再去掉一个最大数 an，将 an换成 a1＋an－A，其余各数不变，于是得到第二组正数：A，a2，a3，…，a n－1，a1＋a n－A.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为 A1，那么 A1＝nAaaaaaAnn1132...＋=A,② 两组数的几何平均值最大.设第二组数的几何平均值为 G1，则 G1＝),(...1132AaaaaAann∵A(a1＋an－A)－a 1an＝(A－a1)(a n－A),由 a1＜A＜an，得(A－a1)(an－A)＞0,则 A(a1＋an－A)＞a1an.∴Aa 2a 3…a n－1(a1＋a n－A)＞a1a 2…an－1＋a n.G1＞G.若第二组数全相等，则 A1＝G 1，于是 A＝A1＝G 1＞G 证明完毕.若第二组数不全相等，再作第二次替换.仍然是去掉第二组数中的最小数 b1 和最大数bn，分别用 A1(即 A)和 b1＋bn－A 代替，因为有 b1＜A1＜b n且 A1＝A.因而第二组数中的 A 不是最小数 b1，也不是最大数 bn，不在去掉之列，在替换中不会被换掉，而只会再增加，如此替换下去，每替换一次，新数中至少增加一个 A，经过 n－2 次替换，新数中至少出现 n－2 个 A，最多经过 n－1 次替换，得到一个全部是 A 的新数组.此时新数组的算术平均值等于几何平均值.在每次替换中，数组的算术平均值不变，始终等于 A，而几何平均值不断增大，即 G＜G 1＜G2＜…＜G k，而 Gk＝Ak＝A，因而 G≤A 成立. 二、课外拓展平均值不等式：平均不等式是最重要而基本的不等式之一，应用极其广泛，如能灵活运用，将产生意想不到的效果，这类试题在数学竞赛中经常出现.请同学们课后查找资料，阅读此四个不等式的证明过程.平均值定理：设 n 个正数 a1，a2，…，an，记调和平均nnaaanH1...1121几何平均nnnaaaG...21， 算术平均naaaAnn...21，平方平均naaaQnn22221....这 4 个平均有如下关系：Hn≤Gn≤An≤Q n,等号成立的充要条件都是 a1=a 2=…=a n.
