5.5.2 简单的三角恒等变换【素养目标】1．能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理)2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算)3．进一步掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题．(逻辑推理、数学运算)【学法解读】在本节学习中学生应先复习二倍角公式，利用二倍角公式推导半角公式，并掌握半角适用条件．培养学生数学中的逻辑推理．必备知识·探新知基础知识知识点 半角公式cos＝±(C)，sin＝±(S)，tan＝±(T)．思考：(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的？如何推导的？(2)半角公式中的正负号能否去掉？该如何选择？(3)半角公式对 α∈R 都成立吗？提示：(1)二倍角的余弦公式．推导如下：在二倍角公式 cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1 中，以 α 代替 2α，以代替 α，即得：cosα＝1－2sin2＝2cos2－1.所以 sin2＝，cos2＝，tan2＝.开方可得半角公式．(2)不能．①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；②若给出 α 的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后根据所在范围选用符号．(3)公式 C，S 对 α∈R 都成立，但公式 T 要求 α≠(2k＋1)π(k∈Z)．基础自测1．下列说法中正确的个数是( A )①sin＝±.②cos20°＝±.③tan＝＝.④sin4α＋cos4α＝2sin(4α＋)．A．1 B．2 C．3 D．4[解析] ①②③错误，④正确，故选 A．2．已知 180°<α<360°，由 cos 的值等于( C )A．－B．C．－D．3．已知 cosα＝，α∈，则 sin 等于( B )A．－B．C．D．－[解析] α∈，∴∈，∴sin＝＝.4．sinx－cosx 等于( C )A．sin2x B．sinC．sinD．sin[解析] 原式＝＝sin.5．已知 cos θ＝，且 270°<θ<360°，试求 sin 和 cos 的值．[解析] 270°<θ<360°，∴135°<<180°，∴sin>0，cos<0.∴sin＝＝＝；cos＝－＝－＝－.关键能力·攻重难题型探究题型一 应用半角公式给角求值例 1 求下列式子的值：sin 75°、cos 75°、tan 75°.[分析] 75°是 150°的半角．[解析] sin 75°＝＝＝＝＝＝＝.cos 75°＝＝＝＝＝＝＝.tan 75°＝＝＝＝2＋.或 tan 75°＝＝＝＝2＋.或 tan 75°＝＝＝2＋.或 tan 75°＝＝＝2＋.[归纳提升] 求 sin 75°、cos 75°，利用 sin(45°＋30°)，cos(45°＋30°)求解不易出错，但比较麻烦．而应用半角...
