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cn备课资料备用习题 如图 17,在四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD⊥底面 ABCD,E、F 分别为AB、SC 的中点
(1)证明 EF∥平面 SAD;(2)设 SD=2DC,求二面角 AEFD 的正切值
图 17 图 18(1)证明：作 FG DC∥交 SD 于点 G,则 G 为 SD 的中点
连接 AG,FG21 CD,又 CDAB，故 FGAE,四边形 AEFG 为平行四边形
所以 EF AG
∥又 AG平面 SAD,EF平面 SAD，所以 EF∥平面 SAD
(2)解:不妨设 DC=2,则 SD=4,DG=2, ADG△为等腰直角三角形
如图 18,取 AG 中点 H,连接 DH,则 DHAG
⊥又 AB⊥平面 SAD,所以 ABDH
⊥而 AB∩AG=A，所以 DH⊥面 AEF
取 EF 中点 M，连接 MH,则 HMEF
⊥连接 DM,则 DMEF
⊥故∠DMH 为二面角 AEFD 的平面角
tanDMH=∠212 HMDH
所以二面角 AEFD 的正切值为2
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