高中数学简述如何使用函数对称性解题

简述如何使用函数对称性解题 ————河南、邹鹏一、用函数自身的对称性解题定理 1.函数 y = f (x)的图像关于点 A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点 P(x ,y)是 y = f (x)图像上任一点， 点 P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点 P‘（2a－x，2b－y）也在 y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)即 y + f (2a－x)=2b 故 f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。（充分性）设点 P(x0,y0)是 y = f (x)图像上任一点，则 y0 = f (x0) f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即 2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点 P‘（2a－x0，2b－y0）也在 y = f (x) 图像上，而点 P 与点 P‘关于点 A (a ,b)对称，充分性得征。推论：函数 y = f (x)的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f (x) + f (－x) = 0定理 2. 函数 y = f (x)的图像关于直线 x = a 对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即 f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f (x) = f (－x)定理 3. ① 若函数 y = f (x) 图像同时关于点 A (a ,c)和点 B (b ,c)成中心对称（a≠b），则 y = f (x)是周期函数，且 2| a－b|是其一个周期。 ② 若函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 （a≠b），则 y = f (x)是周期函数，且 2| a －b|是其一个周期。③ 若函数 y = f (x)图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称又关于直线 x =b成轴对称（a≠b），则 y = f (x)是周期函数，且 4| a－b|是其一个周期。①② 的证明留给读者，以下给出③的证明： 函数 y = f (x)图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称，∴f (x) + f (2a－x) =2c，用 2b－x 代 x 得：f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）又 函数 y = f (x)图像直线 x =b 成轴对称，∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用 2（a－b）－x 代 x 得f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：f (x) = f [4(a－b) + x],故 y = f (x)是周期函数，且 4| a－b|是其一个周期。二、用不同函数的对称性解题定理 4. 函数 y...