爪形结构与分角定理、张角定理【知识拓展】1.三点共线的向量表示(1)若 A，P，B 三点共线，则存在唯一实数 t 使AP＝tAB.(2)OA，OB为平面的一组基向量，点 P 在直线 AB 上的充要条件是存在唯一一组实数对(λ，μ)，使OP＝λOA＋μOB且 λ＋μ＝1.2.(1)定比分点的向量公式：在平面上任取一点 O，设OP1＝a，OP2＝b，若P1P＝λPP2(λ≠－1)，则OP＝a＋b(特别地，当 λ＝1 时，即 P 为线段 P1P2的中点，则有OP＝a＋b).(2)三角形的等分线：在△ABC 中，D 是边 BC 上的点，且＝(m，n>0)，则AD＝AB＋AC(也叫“爪形结构”).3.张角定理与分角定理(1)张角定理＝＋[证明如下： S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，∴AB×AC×sin(α＋β)＝AB×AD×sin α＋AC×AD×sin β，两边同除以 AB·AC·AD 得＝＋.](2)分角定理在△ABC 中，D 是边 BC 上(异于 B，C)或其延长线上的一点，则有sin α∶sin β＝∶.[证明如下：＝，①＝＝·，②得＝·，故 sin α∶sin β＝∶.]4.梅涅劳斯定理与塞瓦定理(1)梅涅劳斯定理已知直线 DF 交△ABC 三边所在直线于 D，E，F 三点，则有：··＝1.[证明如下：设＝q，＝m，＝n，＝t，则有AE＝AC，BF＝BA，BD＝BC，①因为 D，E，F 三点共线，所以(t＋1)BE＝tBF＋BD.又因为BE＝BA＋AE，从而(t＋1)BA＋(t＋1)AE＝tBF＋BD，②当①代入②，可得(t＋1)BA＋AC＝BA＋BC，即BA＋AC＋CB＝0.注意到BA＋AC＋CB＝0，且BA，AC，CB两两方向不同，故有 t＋1－＝＝.由＝可知 t＝－1，将其代入 t＋1－＝，整理可得 qmn＝1，即··＝1.](2)塞瓦定理已知点 O 为△ABC 内任意一点，AO，BO，CO 的延长线分别交边 BC，CA，AB于 D，E，F，则有：··＝1.[证明如下：设＝p，＝q，＝r，＝n，则有CA＝CE，CB＝(q＋1)CD，CF＝(n＋1)CO，①因为 F，B，A 三点共线，所以CF＝CB＋CA，②将①代入②，即有(n＋1)CO＝CB＋CE，(n＋1)CO＝CD＋CA.注意到 B，O，E 三点共线，A，O，D 三点共线，所以有 n＋1＝＋，(n＋1)＝＋，整理可得 pqr＝1，即··＝1.注：本定理用面积证法更简单.]【类型突破】类型一 三点共线、定比分点、三角形等分线的向量表示例 1 (1)如图，在△ABC 中，BD＝DC，AE＝3ED，若AB＝a，AC＝b，则BE＝( )A.a＋bB.－a＋bC.a＋bD.－a＋b(2)在△ABC 中，点 M，N 满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则 x＝________，y＝________.答案 (1)B (2) －解析 (1)BD＝BC＝(AC－AB)＝(b－a).BE＝BA＋BD＝...
