微专题12 折叠与探索问题VIP专享

微专题 12 折叠与探索问题高考定位 1.立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点，主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题，多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题，主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等； 2.以空间向量为工具，探索空间几何体中线面关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上.【真题体验】1.(2024·新高考Ⅱ卷)如图，平面四边形 ABCD 中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点 E，F 满足AE＝AD，AF＝AB.将△AEF 沿 EF翻折至△PEF，使得 PC＝4.(1)证明：EF⊥PD；(2)求平面 PCD 与平面 PBF 所成的二面角的正弦值.(1)证明 由题意知，AE＝AD＝2，AF＝AB＝4，又∠BAD＝30°，所以由余弦定理得 EF2＝AE2＋AF2－2AE·AF·cos 30°＝4，故 EF＝2.又 EF2＋AE2＝AF2，所以 EF⊥AE.由 EF⊥AE 及翻折的性质知 EF⊥PE，EF⊥ED，又 ED∩PE＝E，ED，PE⊂平面 PED，所以 EF⊥平面 PED.又 PD⊂平面 PED，所以 EF⊥PD.(2)解 如图，连接 CE，由题意知DE＝3，CD＝3，∠CDE＝90°，故 CE＝＝6.又 PE＝AE＝2，PC＝4，所以 PE2＋CE2＝PC2，故 PE⊥CE.又 PE⊥EF，CE∩EF＝E，CE，EF⊂平面 ABCD，所以 PE⊥平面 ABCD.EF，ED，PE 两两垂直，故以 E 为原点，EF，ED，PE 所在直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，则 P(0，0，2)，D(0，3，0)，F(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(3，3，0)，连接 PA，则PD＝(0，3，－2)，DC＝(3，0，0)，AP＝(0，2，2，)，AF＝(2，2，0).设平面 PCD 的一个法向量 n1＝(x1，y1，z1)，则可取 n1＝(0，2，3).设平面 PBF 即平面 PAF 的一个法向量 n2＝(x2，y2，z2)，则可取 n2＝(，－1，1).|cos〈n1，n2〉|＝＝.故平面 PCD 与平面 PBF 所成二面角的正弦值为＝.2.(2021·全国甲卷)已知直三棱柱 ABC－A1B1C1中，侧面 AA1B1B 为正方形，AB＝BC＝2，E，F 分别为 AC 和 CC1的中点，D 为棱 A1B1上的点，BF⊥A1B1.(1)证明：BF⊥DE；(2)当 B1D 为何值时，平面 BB1C1C 与平面 DFE 所成的二面角的正弦值最小？(1)证明 因为 E，F 分别是 AC 和 CC1的中点，且 AB＝BC＝2，侧面 AA1B1B 为正方形，所以 CF＝1，BF＝.如图，连接 AF，由 BF⊥A1B1，AB∥A1B1，得 BF⊥AB，于是 AF＝＝3，所以 AC＝＝2.由 AB2＋BC2...