微专题11 空间角、距离的计算(几何法、向量法)VIP专享

微专题 11 空间角、距离的计算(几何法、向量法)高考定位 1.以空间几何体为载体考查空间角(以线面角、面面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面位置关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查.高考注重利用向量方法解决空间角问题，但也可利用几何法来求解； 2.空间距离(特别是点到面的距离)也是高考题中的常见题型，多以解答题的形式出现，难度中等.【真题体验】1.(2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台 ABC－A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A 与平面 ABC 所成角的正切值为( )A.B.1C.2D.3答案 B解析 设正三棱台 ABC－A1B1C1的高为 h，三条侧棱延长后交于一点 P，作 PO⊥平面 ABC 于点 O，PO 交平面 A1B1C1于点 O1，连接 OA，O1A1，如图所示.由 AB＝3A1B1，可得 PO1＝h，PO＝h，又 S△A1B1C1＝×22×＝，S△ABC＝×62×＝9，所以正三棱台 ABC－A1B1C1的体积 V＝VP－ABC－VP－A1B1C1＝×9×h－××h＝，解得 h＝，故 PO＝h＝2.由正三棱台的性质可知，O 为底面 ABC 的中心，则 OA＝×＝2，因为 PO⊥平面 ABC，所以∠PAO 是 A1A 与平面 ABC 所成的角，在 Rt△PAO 中，tan∠PAO＝＝1，故选 B.2.(2024· 天 津 卷 ) 如 图 ， 已 知 直 四 棱 柱ABCD － A1B1C1D1 中 ，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N 是 B1C1 的中点，M 是DD1的中点.(1)求证：D1N∥平面 CB1M；(2)求平面 CB1M 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值；(3)求点 B 到平面 CB1M 的距离.(1)证明 以 A 为坐标原点，以 AB，AD，AA1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，依题意得B(2，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，B1(2，0，2)，C1(1，1，2)，D1(0，1，2)，则 M(0，1，1)，N，所以D1N＝，CB1＝(1，－1，2)，CM＝(－1，0，1).设平面 CB1M 的一个法向量为 n＝(x1，y1，z1)，则即取 x1＝1，得 z1＝1，y1＝3，则 n＝(1，3，1).D1N·n＝·(1，3，1)＝－＝0，所以D1N⊥n，显然 D1N⊄平面 CB1M，所以 D1N∥平面 CB1M.(2)解 易知CB1＝(1，－1，2)，BC＝(－1，1，0)，设平面 BB1C1C 的一个法向量为 m＝(x2，y2，z2)，则即取 x2＝1，得 y2＝1，z2＝0，则 m＝(1，1，0).设平面 CB1M 与平面 BB1C1C 的夹角为 θ，则 cos θ＝|cos〈n，m〉|＝＝＝，所以平面 CB1M 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值为.(3)解 易知BB1＝(0，0，2).设点 B ...