微专题9 球的切、接问题

微专题 9 球的切、接问题高考定位 空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，难度较大，一般出现在压轴小题的位置.【真题体验】1.(2021·全国甲卷)已知 A，B，C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥 O－ABC 的体积为( )A.B.C.D.答案 A解析 如图所示，因为 AC⊥BC，所以 AB 为截面圆 O1的直径，且 AB＝.连接 OO1，则 OO1⊥平面 ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥 O－ABC 的体积V＝S△ABC·OO1＝××1×1×＝.2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为 1，上、下底面边长分别为 3 和 4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A.100πB.128πC.144πD.192π答案 A解析 由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为 O1，O2，连接 O1O2(图略)，则 O1O2＝1，其外接球的球心 O 在直线 O1O2上.设球 O 的半径为 R，当球心 O 在线段 O1O2上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO1)2，解得 OO1＝4(舍去)；当球心 O 不在线段 O1O2上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO2)2，解得 OO2＝3，所以 R2＝25，所以该球的表面积为 4πR2＝100π.3.(2022·全国乙卷)已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )A.B.C.D.答案 C解析 该四棱锥的体积最大，即以底面外接圆和顶点 O 组成的圆锥体积最大，设圆锥的高为 h(0