第三节 特殊三角形考点一 等腰三角形的判定与性质例 1(2018· 泸州 ) 如图，等腰△ ABC 的底边 BC ＝ 20 ，面积为 120 ，点 F 在边 BC 上，且 BF ＝ 3FC ， EG 是腰 AC 的垂直平分线，若点 D 在 EG 上运动，则△ CDF 周长的最小值为 ．【分析】 根据两点之间，线段最短确定最小值点，再利用等腰三角形的性质进行求解．【自主解答】∵ BC ＝ 20 ， BF ＝ 3FC ，∴ BF ＝ ×20 ＝ 15 ， FC ＝ ×20 ＝ 5.∵△CDF 周长为 CD ＋ DF ＋ FC ＝ CD ＋ DF ＋ 5 ，∴当 CD ＋ DF 最小时，△ CDF 的周长有最小值．如解图，连接 AD.∵EG 是 AC 的垂直平分线，∴ AD ＝ CD ，∴ CD ＋ DF ＝ AD ＋ DF.“根据 两点之”间，线段最短 可知当点 A ， D ， F 在同一条直线上时， AD ＋DF 的最小值为 AF. 过点 A 作 AH⊥BC 于点 H ，∵ BC ＝20 ，△ ABC 的3414面积为 120 ，∴ AH ＝＝ 12.∵AB ＝ AC ，∴ BH ＝ CH ＝ BC＝ 10 ，∴ HF ＝ 15 － 10 ＝ 5. 在 Rt△AHF 中，根据勾股定理，得AF ＝＝ 13 ，即 CD ＋ DF 的最小值为 13 ，∴△ CDF 周长的最小值为 13 ＋ 5 ＝ 18. 2 1202012225121 ．如图，在△ ABC 中，∠ A ＝ 36° ， AB ＝ AC ， BD是△ ABC 的角平分线．若在边 AB 上截取 BE ＝ BC ，连接 DE ，则图中等腰三角形共有 ( )A ． 2 个B ． 3 个C ． 4 个D ． 5 个D2 ． (2018· 成都 ) 等腰三角形的一个底角为 50° ，则它的顶角的度数为 _____. 80°考点二 直角三角形的判定与性质例 2(2014· 安徽 ) 如图，在 Rt△ABC 中， AB ＝ 9 ， BC ＝ 6，∠B ＝ 90° ，将△ ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN ，则线段 BN 的长为 ( )A.B.C ． 4D ． 55352【分析】 设 BN ＝ x ，则由折叠的性质可得 DN ＝ AN ＝ 9 －x ，根据中点的定义可得 BD ＝ 3 ，在 Rt△BDN 中，根据勾股定理可得关于 x 的方程，解方程即可求解．【自主解答】要求 BN 的长，可放在 Rt△DBN 中计算，由折叠可得△ AMN≌△DMN ，即 DN ＝ AN ，可设 BN ＝ x ，则 AN＝ DN ＝ 9 － x ，再由 D 是 BC 的中点可知 BD ＝ 3 ，在Rt△DBN 中，由 BD2 ＋ BN2 ＝ DN2 ，得 32 ＋ x2 ＝ (9 － x)2 ，解得 x ＝ 4.∴BN ＝ 4 ，故选 C.1 ．如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ，∠ A ＝55° ，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上的点 A′ 处，折痕为 CD ，则∠ A′DB ＝ ( )A ． 40° B ． 30° C ． 20° D ． 10°C2 ．如图，在△ ABD 中，∠ D ＝ 90° ， CD ＝ 6 ，AD ＝ 8 ，∠ ACD ＝ 2∠B ，则 BD 的长是 ( )A ． 12 B ． 14 C ． 16 D ． 18C3 ． (2017· 菏泽 ) 如图，将 Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90° ，得到△ A′B′C ，连接 AA′. 若∠ 1 ＝ 25° ，则∠ BAA′ 的度数是 ( )A ． 55° B ． 60° C ． 65° D ． 70°C
