专题综合强化第二部分 专题六 圆的相关证明与计算常考题型 · 精讲类型 1 与全等三角形相关证明与计算 (2017 玉林崇左梧州 T23 ；2017 贺州 T24 ； 2017 来宾 T25 ； 2016 梧州 T22. 题型：解答．分值 8 ～12 分 )例 1 (2017·来宾)如图，点 D 是等边三角形 ABC 外接圆的BC︵ 上一点(与点 B，C 不重合)，BE∥DC 交 AD 于点 E. (1)求证：△BDE 是等边三角形； • 利用等边三角形的性质得∠ 3 ＝∠ ABC ＝ 60° ，再利用圆周角定理得到∠ 4 ＝∠ 3 ＝ 60° ，∠ 5 ＝∠ ABC ＝ 60° ，接着根据平行线的性质得∠ 6 ＝∠ 5 ＝ 60° ，然后根据等边三角形的判定方法得到结论． ☞解题思路 【解答】如答图． △ ABC 为等边三角形，∴∠3 ＝∠ ABC ＝ 60°.4∴∠ ＝∠ 3 ＝ 60° ，∠ 5 ＝∠ ABC ＝ 60°. BE∥DC ，∴∠ 6 ＝∠ 5 ＝ 60°.在△ BED 中， ∠ 4 ＝∠ 6 ＝ 60° ，∴△ BDE 为等边三角形．• (2) 求证：△ ABE≌△CBD ；利用等边三角形的性质得 CB ＝ BA ， BD ＝ BE ，再证明∠ AEB ＝∠ BDC ，然后根据“ AAS” 可判定△ ABE≌△CBD. ☞解题思路 【解答】 △ABC 为等边三角形，∴CB＝BA. △BDE 为等边三角形，∴BD＝BE. ∠AEB＝180°－∠6＝120°，∠BDC＝∠4＋∠5＝120°， ∴∠AEB＝∠BDC，在△AEB 和△CDB 中， ∠AEB＝∠CDB，∠2＝∠1，AB＝CB， ∴△ABE≌△CBD(AAS)． • (3) 如果 BD ＝ 2 ， CD ＝ 1 ，求△ ABC 的边长．作 BH⊥AD 于 H ，由△ ABE≌△CBD 得到 AE ＝ CD ＝ 1 ，再利用等边三角形的性质和含 30 度的直角三角形三边的关系得到 EH ＝ DH ＝ 1 ，BH ＝ DH ＝，然后利用勾股定理计算 AB 的长即可． ☞解题思路 【解答】过点B作BH⊥AD于H，如答图. △ABE≌△CBD，∴AE＝CD＝1. △BDE为等边三角形，∴EH＝DH＝1，BH＝ 3DH＝ 3，在Rt△ABH中， AB＝ AH2＋BH2＝ 22＋ 32＝ 7， 即△ABC 的边长为 7. • 例 2 (2016· 柳州 ) 如图， AB 为△ ABC外接圆⊙ O 的直径，点 P 是线段 CA 延长线上一点，点 E 在圆上且满足 PE2＝ PA·PC ，连接 CE ， AE ， OE ， OE 交 CA 于点 D.• (1) 求证：△ PAE∽△PEC ；类型 2 与相似三角形相关证明与计算 (2018 北部湾经济区...
