1.立体几何1.(2018·江苏省金陵中学月考)如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AP＝AD,点M在棱PD上,AM⊥PD,点N是棱PC的中点,求证:(1)MN∥平面PAB；(2)AM⊥平面PCD.证明(1)因为在△PAD中,AP＝AD,AM⊥PD,所以点M是棱PD的中点.又点N是棱PC的中点,所以MN是△PDC的中位线,所以MN∥DC.因为底面ABCD是矩形,所以AB∥DC,所以MN∥AB.又AB⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)因为平面PAD⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD,所以CD⊥AM.因为PD⊥AM,CD⊥AM,CD∩PD＝D,CD⊂平面PCD,PD⊂平面PCD,所以AM⊥平面PCD.2.已知在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ABC＝60°,DC＝1,AD＝,PB＝PC,且M,N分别为BC,PA的中点.(1)求证:DN∥平面PBC；(2)求证:MN⊥BC.证明(1)取PB的中点E,连结NE,CE,AC,因为ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ABC＝60°,DC＝1,AD＝,易得AC＝CB＝AB＝2.又N为PA的中点,所以NE∥CD且NE＝CD,所以四边形CDNE是平行四边形,所以DN∥CE.又CE⊂平面PBC,DN⊄平面PBC,所以DN∥平面PBC.(2)连结AM,PM.因为PB＝PC,所以PM⊥BC,因为AC＝AB,所以AM⊥BC,又AM∩PM＝M,AM,PM⊂平面PAM,所以BC⊥平面PAM.因为MN⊂平面APM,所以MN⊥BC.3.(2018·扬州市邗江区模拟)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB＝2EF,∠BFC＝90°,BF＝FC,H为BC的中点.(1)求证:FH∥平面EDB；(2)求证:AC⊥平面EDB.证明(1)设AC与BD的交点为G,连结GE,GH,如图,以H为坐标原点,分别以HB,GH,HF的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,令BH＝1,则A(1,－2,0),B(1,0,0),C(－1,0,0),D(－1,－2,0),E(0,－1,1),F(0,0,1),G(0,－1,0),∴GE＝(0,0,1),又 HF＝(0,0,1),∴GE∥HF,GE⊂平面EDB,HF⊄平面EDB,∴FH∥平面EDB.(2) AC＝(－2,2,0),GE＝(0,0,1),∴AC·GE＝0,∴AC⊥GE.又AC⊥BD,且GE⊂平面EDB,BD⊂平面EDB,GE∩BD＝G,∴AC⊥平面EDB.4.如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,M,N分别为棱A1C1和AB的中点.(1)求证:MN∥平面BCC1B1；(2)若平面ACC1A1⊥平面A1B1C1,且A1B1＝B1C1,求证:平面B1MN⊥平面ACC1A1.证明(1)方法一如图,设BC的中点为H,连结NH,HC1.在△ABC中,因为N为AB的中点,所以NH∥AC,且NH＝AC,在三棱柱ABC－A1B1C1中,因为AC∥A1C1,且AC＝A1C1,M为A1C1的中点,所以MC1∥AC,且MC1＝AC,所以NH∥MC1,且NH＝MC1,所以四边形MC1HN为平行四边形,所以MN∥C1H,又MN⊄平面BCC1B1,C1H⊂平面BCC1B1,所以MN∥平面BCC1B1.方法二如图2,在侧面ACC1A1中,连结AM并延长交直线CC1于点Q,连结BQ.在三棱柱ABC－A1B1C1中,AA1∥CC1,所以＝,因为M为A1C1的中点,所以M为AQ的中点.又因为N为AB中点,所以MN∥BQ,又MN⊄平面BCC1B1,BQ⊂平面BCC1B1,所以MN∥平面BCC1B1.方法三如图3,取A1B1的中点O,连结OM,ON.在△A1B1C1中,因为O,M分别为A1B1,A1C1的中点,所以OM∥B1C1.因为OM⊄平面BCC1B1,B1C1⊂平面BCC1B1,所以OM∥平面BCC1B1.在三棱柱ABC－A1B1C1中,A1B1∥AB且A1B1＝AB,又因为O,N分别为A1B1,AB的中点,所以OB1∥NB,OB1＝NB,所以四边形OB1BN为平行四边形,所以ON∥B1B,又ON⊄平面BCC1B1,B1B⊂平面BCC1B1,所以ON∥平面BCC1B1.因为OM∥平面BCC1B1,ON∥平面BCC1B1,OM∩ON＝O,OM⊂平面OMN,ON⊂平面OMN,所以平面OMN∥平面BCC1B1,又MN⊂平面OMN,所以MN∥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝B1C1,M为A1C1的中点,所以B1M⊥A1C1,因为平面ACC1A1⊥平面A1B1C1,平面ACC1A1∩平面A1B1C1＝A1C1,B1M⊂平面A1B1C1,所以B1M⊥平面ACC1A1,又B1M⊂平面B1MN,所以平面B1MN⊥平面ACC1A1.5.如图,O是圆锥底面圆的圆心,圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,C为底面圆周上一点.(1)若弧BC的中点为D,求证:AC∥平面POD；(2)如果△PAB的面积是9,求此圆锥的表面积.(1)证明方法一设BC∩OD＝E, D是弧BC的中点,∴E是BC的中点.又 O是AB的中点,∴AC∥OE.又 AC⊄平面POD,OE⊂平面POD,∴AC∥平面POD.方法二 AB是底面圆的直径,∴AC⊥BC. 弧BC的中点为D,∴OD⊥BC.又AC,OD共面,∴AC∥OD.又AC⊄平面POD,OD⊂平面POD,∴AC∥平面POD.(2)解:设圆锥底面半径为r,高为h,母线长为l, 圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,∴h＝r,l＝r.由S△PAB＝×...
