不等式的证明策略VIP专享VIP免费

第1页共11页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共11页2009年高考数学难点突破专题辅导十八难点18不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.●难点磁场()★★★★已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+1a)(b+1b)≥254.●案例探究［例1］证明不等式1+1√2+1√3+⋯+1√n<2√n(n∈N*)命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.证法一：(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+1√2+1√3+⋯+1√k＜2√k，则1+1√2+1√3+⋯+1√k+1<2√k+1√k+1=2√k(k+1)+1√k+10,∴2√k(k+1)+1<2(k+1), √k+1>0,∴2√k+1√k+1<2√k+1.又如: 2√k+1−2√k=2√k+1+√k>2√k+1+√k+1=1√k+1,∴2√k+1√k+1<2√k+1.证法二：对任意k∈N*，都有：1√k=2√k+√k<2√k+√k−1=2(√k−√k−1),因此1+1√2+1√3+⋯+1√n<2+2(√2−1)+2(√3−√2)+⋯+2(√n−√n−1)=2√n.证法三：设f(n)=2√n−(1+1√2+1√3+⋯+1√n),那么对任意k∈N*都有：f(k+1)−f(k)=2(√k+1−√k)−1√k+1=1√k+1[2(k+1)−2√k(k+1)−1]=1√k+1⋅[(k+1)−2√k(k+1)+k]=(√k+1−√k)2√k+1>0∴f(k+1)＞f(k)因此，对任意n∈N*都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，∴1+1√2+1√3+⋯+1√n<2√n.［例2］求使√x+√y≤a√x+y(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cosθ、sinθ来对应进行换元，即令√x=cosθ，√y=sinθ(0＜θ＜π2)，这样也得第3页共11页第2页共11页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共11页a≥sinθ+cosθ，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，a≥f(x)，则amin=f(x)max；若a≤f(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2√xy≤a2(x+y)，即2√xy≤(a2－1)(x+y)，①∴x，y＞0，∴x+y≥2√xy，②当且仅当x=y时，②中有等号成立.比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，∴a2=2，a=√2(因a＞0)，∴a的最小值是√2.解法二：设u=√x+√y√x+y=√(√x+√y)2x+y=√x+y+2√xyx+y=√1+2√xyx+y. x＞0，y＞0，∴x+y≥2√xy(当x=y时“=”成立)，∴2√xyx+y≤1，2√xyx+y的最大值是1.从而可知，u的最大值为√1+1...