1最优化设计的基本概念最优化就是追求最好结果或最优目标，从所有可能方案中选择的最合理的一种方案。在进行工程设计、物资运输或资源分配等工作中，应用最优化技术，可以帮助我们选择出最优方案或作出最优决策。目前，最优化方法在工程技术、自动控制、系统工程、经济计划．企业管理等各方面都获得了广泛应用。最优化设计是从可能设计中选择最合理的设计，以达到最优目标。搜寻最优设计的方法就是最优化设计法，这种方法的数学理论就是最优化设计理论。最优化设计方法是现代设计方法的一种。微积分中遇到的函数极值问题是最简单的最优化问题。I.1函数的极值最简单的最优化设计问题，就是微积分中的求函数极值问题。它是应用数学的一个分支，已渗透到科学、技术、工程、经济各领域。例1.1边长为a的正方形钢板，设计制成正方形无盖水槽，如图：1.1所示，在四个角处剪去相等的正方形，如何剪法使水槽容积虽大？解：设剪去的正方形边长为x，与此相应的水槽容积为解出两个驻点x=a/2和x=a/6第一个驻点没有实际意义。现在判别第二个驻点是否为极大点。因为V"(X=a/6)=-4a<0说明x=a/6的驻点是极大点。结论是，每个角剪去边长为a／6的正方形可使所制成的水槽容积最大。一般记为MaxV（x）。例1.2图1.2所示的对称两杆支架，由空心圆管构成。顶点承受的荷载为2P，支座间距为2L，圆管壁厚为6。设密度为P，弹性模量为E，屈服极限为(T。问如何设计圆管平均直径d和支架高度H，使支架的重量最轻？解：以圆管平均直径d和支架高度H为两个未知变量。支架总重量的数学表达式为W(H.d)=2pbd最轻支架重量w，一般记为mixW。式(1.2)中变量d和H还必须满足以下条件：图1.1正方形钢板图I2两杆支架(1)圆管的压应力小于或等于压杆稳定临界应力cr。由材料力学可知，压杆稳定的临界应力为由此得稳定约束条件(2)圆管压应力小于或等于材料的屈服极限y，由此得强度约束条件(3)变量d和H为有界变量，由此得几何约束条件dmin≤d≤dmax，Hmin≤H≤Hmax式中：dmin、dmax、Hmin、Hmax分别为d和H的下界值、上界值。上述支架的最优设计问题表示为：求设计变量d和H，一般记为X(或{X})=[dH]T=[X1X2]T式(1.2)中W(d，H)，一般记为W(x)，称为目标函数。使目标函数最小记为满足以下约束条件gl(X)=g2(X)=g3(x)=dmin-d≤0g4(X)=d-dmax≤095(X)=Hmin-H≤096(X)=H-Hmax≤0一般记为s．tGi(X)≤0，i=1，2，…，m用计算函数极值的分析法，寻求这个问题的最优解。若假定最优化设计发生在构件中应力达到屈服极限的情形，即选定强度约束方程式（1.4)为等式形式，即将上式代人目标函数W的方程式(1.2)中，消去变量d，使目标函数成为一个变量H的函数W=计算函数w对变量H的一阶导数，并使之等于零，求得使重量W为最小值时的H解。即由即当H等于L时，支架总重量最小。以上两个例题都是微积分中典型的极值问题，它们虽然简单，却代表了经典最优设计出两类问题。第一，无约束极值问题（例1.1所示）。maxF(x1,x2…xn)或：mixF(x1,x2…xn)这里的F（x1,x2…xn）是定义在n维空间上的可微函数。如果F(X)在x=xo处满足F(X)-F(Xo)<0，且a≤x≤b，a≤Xo≤b(16)则称F(x)在[a，b]上的x=xo处有一相对极大值或局部极大值，式(1.6)中的e为一正的小量。如果F(X)在x=Xo处满足F(X)-F(Xo)≤0.，且a≤X≤b,a≤Xo≤b(1.7)则称F(X)在[a，b]上的X=Xo处有一绝对极大值或全域极大值。如果将式(1.6)和式(1.7)中第一式的“<”或“≤”改为“>”或“≥”，则称F(X)在X=Xo处分别有一相对极小值和绝对极小值。只有当F’(Xo)=0时，x=xo处才能满足极大或极小的条件式(1.6)，但这只是必要条件，而不是充分条件。相对极小的必要条件是F’(Xo)=0时，而其充要条件是F’(Xo)=0时，F”(Xo)>0时；反之，相对极大的必要条件是F’(Xo)=0，而其充要条件则是F’(Xo)=0，F”(Xo)<0。如果F”(Xo)=0，则相对极大或相对极小的充要条件还要根据更高次的级数项决定。例如，当F’(Xo)=F”(Xo)=0，而F(Xo)≠0时，X=xo是F(X)的一个拐点。习惯上，把极大点和极小点统称为极点，把极大点、极小点和拐点合在一起，统称为驻点：极点上的函数值统称为极值，驻点上的函数值统称为驻值。总之，求极值点的方法是...
