在自然科学和工程设计中的许多问题VIP免费

在自然科学和工程设计中的许多问题，如电磁振荡、桥梁振动、机械振动等，常归结为求矩阵的特征值和特征向量.求矩阵的特征值和特征向量的问题是代数计算中的重要课题.本章着重介绍直接计算矩阵的特征值和特征向量的MATLAB程序、间接计算矩阵的特征值和特征向量的幂法、反幂法、雅可比方法、豪斯霍尔德方法和QR方法及其它们的MATLAB计算程序.最后我们还讨论广义特征值问题.5.1直接计算特征值和特征向量的MATLAB程序5.1.4计算特征值和特征向量的MATLAB程序从以上的讨论可以看到，有许多问题归结为求矩阵的特征值和特征向量，而用手工计算高阶矩阵的特征值与特征向量的难度较大，但是，计算机软件MATLAB提供了直接计算特征值与特征向量的MATLAB函数（见表5–1），下面介绍这些函数的使用方法.表5–1命令功能b=eig(A)输入方阵A，运行后输出b为由方阵A的全部特征值构成的列向量[V,D]=eig(A)输入对称矩阵A，运行后输出D为由A的全部特征值构成的对角矩阵，V的各列为对应于特征值的特征向量构成的矩阵，使得AV=DV[V,D]=eig(A,'nobalance')输入方阵A，运行后输出D为由A的全部特征值构成的对角矩阵，V的各列为对应于特征值的特征向量构成的矩阵，使得AV=DV；如果A是对称矩阵，则输出的结果与程序[V,D]=eig(A)的运行结果相同5.2幂法及其MATLAB程序幂法是求实矩阵A的主特征值（即实矩阵A按模最大的特征值）及其对应的特征向量的一种迭代方法.5.2.2幂法的MATLAB程序第五章矩阵的特征值与特征向量的计算设n阶实矩阵A的n个特征值为λ1,λ2,⋯,λn，且满足|λ1|≥|λ2|≥⋯≥|λn|>0，A的主特征值λ1对应的特征向量为X1，则我们可以用下面的MATLAB程序计算λ1和X1的近似值和近似向量.用幂法计算矩阵A的主特征值和对应的特征向量的MATLAB主程序输入的量：n阶实矩阵A、n维初始实向量V0、计算要求的精度jd、迭代的最大次数max1；输出的量：迭代的次数k、A的主特征值λ1的近似值lambda、λ1对应的特征向量X1的近似向量Vk、相邻两次迭代的误差Wc.如果迭代次数已经达到最大的迭代次数max1，则给出提示的相关信息.根据迭代公式（5.20），现提供用幂法计算矩阵A的主特征值和对应的特征向量的MATLAB主程序如下：function[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,jd,max1)lambda=0;k=1;Wc=1;,jd=jd*0.1;state=1;V=V0;while((k<=max1)&(state==1))Vk=A*V;[mj]=max(abs(Vk));mk=m;tzw=abs(lambda-mk);Vk=(1/mk)*Vk;Txw=norm(V-Vk);Wc=max(Txw,tzw);V=Vk;lambda=mk;state=0;if(Wc>jd)state=1;endk=k+1;Wc=Wc;endif(Wc<=jd)disp('请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：')elsedisp('请注意：迭代次数k已经达到最大迭代次数max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：')endVk=V;k=k-1;Wc;例5.2.2用幂法计算下列矩阵的主特征值和对应的特征向量的近似向量，精度ε=10−5.并把（1）和（2）输出的结果与例5.1.1中的结果进行比较.(1)A=(1−124)；(2)B=(123213336)；(3)C=(1221−114−121)；（4）D=(−4140−5130−102).解（1）输入MATLAB程序>>A=[1-1;24];V0=[1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100),[V,D]=eig(A),Dzd=max(diag(D)),wuD=abs(Dzd-lambda),wuV=V(:,2)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：k=lambda=Wc=333.000001738368048.691862856124999e-007Vk=V=wuV=-0.49999942054432-0.707106781186550.44721359549996-0.894428227562941.000000000000000.70710678118655-0.89442719099992-0.89442719099992Dzd=wuD=31.738368038406435e-006由输出结果可看出，迭代33次，相邻两次迭代的误差Wc¿8.6919e-007，矩阵A的主特征值的近似值lambda¿3.00000和对应的特征向量的近似向量Vk¿（-0.50000，1.00000)T,lambda与例5.1.1中A的最大特征值λ2=3近似相等，绝对误差约为1.73837e-006，Vk与特征向量X2T=k2(12,−1)T(k2≠0)的第1个分量的绝对误差约等于0，第2个分量的绝对值相同.由wuV可以看出，λ2的特征向量V(:,2)与Vk的对应分量的比值近似相等...