第五节椭圆A组基础题组1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A.B.(1,+∞)C.(1,2)D.2.椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于()A.2B.4C.8D.3.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.4.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=15.已知椭圆C:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为()A.B.C.D.6.直线x-2y+2=0过椭圆+=1的左焦点F1和一个顶点B,则椭圆的方程为.7.如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为.8.(2016北京西城一模)已知椭圆C:+=1(m>0)的长轴长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程和离心率;(2)设动直线l与y轴相交于点B,点A(3,0)关于直线l的对称点P在椭圆C上,求|OB|的最小值.9.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.B组提升题组10.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.B.C.D.11.已知椭圆+=1(a>b>0)上的动点到焦点的距离的最小值为-1,以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,则椭圆C的方程为()A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+=112.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率等于,其焦点分别为A,B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,的值等于.13.(2017北京朝阳二模)已知椭圆W:+=1(b>0)的一个焦点的坐标为(,0).(1)求椭圆W的方程和离心率;(2)若椭圆W与y轴交于A,B两点(A点在B点的上方),M是椭圆上异于A,B的任意一点,过点M作MN⊥y轴于N,E为线段MN的中点,直线AE与直线y=-1交于点C,G为线段BC的中点,O为坐标原点,求∠OEG的大小.14.(2017北京西城一模)如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F为椭圆C的右焦点.A(-a,0),|AF|=3.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,P为椭圆上一点,AP的中点为M.直线OM与直线x=4交于点D,过O作OE⊥DF,交直线x=4于点E.求证:OE∥AP.答案精解精析A组基础题组1.C 方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴解得故k的取值范围是(1,2).2.B设椭圆的另一个焦点为F2.如图,连接MF2,已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10,∴|MF2|=10-|MF1|=8.由题意知|ON|=|MF2|=4.故选B.3.A如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线.所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|==|PF2|,由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=,2c=|F1F2|=|PF2|⇒c=,则e==·=.4.D直线AB的斜率k==,设A(x1,y1),B(x2,y2),则①-②得=-·.即k=-×,∴=.③又a2-b2=c2=9,④由③④得a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为+=1,故选D.5.B由椭圆方程知c==1,所以F1(-1,0),F2(1,0),因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,所以可设A(1,y0),代入椭圆方程可得=,所以y0=±.设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),所以·=y1y0,因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,故·的最大值为,选B.6.答案+y2=1解析直线x-2y+2=0与x轴的交点为(-2,0),即为椭圆的左焦点,故c=2.直线x-2y+2=0与y轴的交点为(0,1),即为椭圆的上顶点,故b=1.所以a2=b2+c2=5,所以椭圆的方程为+y2=1.7.答案3解析由题意知|F1F2|=2,因为|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-4,在△F1PF2中,由余弦定理得cos120°==-,解得a=3.8.解析(1)因为椭圆C:+=1,所以a2=3m,b2=m,故2a=2=2,解得m=2,所以椭圆C的方程为+=1.因为c==2,所以离心率e==.(2)由题意,直线l的斜率存在,设点P(x0,y0)(y0≠0),则线段AP的中点D的坐标为,且直线AP的斜率kAP=,由点A(3,0)关于直线l的对称点为P,得直线l⊥AP,故直线l的斜率为-=,且过点D,所以直线l的方程为y-=,令x=0,得y=,则B,由+=1,得=6-3,化简得B.所以|OB|==|y0|+≥2=.当且仅当|y0|=,即y0=±∈[-,]时等...
