第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题A组基础题组1.下面给出的四个点中,位于表示的平面区域内的点是()A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,-2)D.(2,0)2.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为()A.-4B.6C.10D.173.(2017北京,4,5分)若x,y满足则x+2y的最大值为()A.1B.3C.5D.94.(2017北京朝阳一模)若x,y满足则y-x的最大值为()A.0B.3C.4D.55.已知(x,y)满足则k=的最大值为()A.B.C.1D.6.(2015北京,13,5分)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为.7.(2018北京东城期末)若x,y满足则y-2x的最小值为.8.(2016北京朝阳期末)已知正数x,y满足约束条件则z=的最小值为.9.(2016北京丰台期末)已知实数x,y满足则z=2x-y的最大值是.10.(2016北京丰台一模)已知x,y满足目标函数z=mx+y的最大值为5,则m的值为.B组提升题组11.(2015北京海淀二模)已知不等式组表示的平面区域为D,点O(0,0),A(1,0).若点M是D上的动点,则的最小值是()A.B.C.D.12.(2015北京东城二模)若实数x,y满足不等式组则z=2|x|+y的最大值为()A.12B.11C.7D.813.(2015北京海淀期末)设不等式组表示的平面区域为D,则区域D上的点与坐标原点的距离的最小值是.14.(2016天津,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能够产生最大的利润?并求出最大利润.答案精解精析A组基础题组1.C将四个点的坐标分别代入不等式组满足条件的是点(0,-2).2.B由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分).当直线2x+5y-z=0过点A(3,0)时,zmin=2×3+5×0=6,故选B.3.D4.B5.C如图,不等式组表示的平面区域为△AOB及其内部,k==表示点(x,y)和(-1,0)的连线的斜率.由图知,点(0,1)和点(-1,0)连线的斜率最大,所以kmax==1.6.答案7解析由题意可知直线z=2x+3y经过点A(2,1)时,z取得最大值,即zmax=2×2+3×1=7.7.答案-1解析作出不等式组所表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,令z=y-2x,则y=2x+z,随直线l:y=2x+z,当通过点(1,1)时,z取得最小值,zmin=1-2×1=-1.8.答案解析令t=2x+y,要使z=的值最小,则t=2x+y的值最大,作出不等式组表示的平面区域如图所示,注意x,y为正数,所以t=2x+y在B点取得最大值,由得B(1,2),则t的最大值为4,则zmin==.9.答案5解析作出不等式组表示的平面区域如图所示.将目标函数变形为y=2x-z.画出l0:y=2x.将l0平移至经过点A时z有最大值,联立求出A(3,1).故zmax=2×3-1=5.10.答案解析作出不等式组表示的平面区域如图所示.求出图中交点A,B(1,2).①当m=0时,z=y,故zmax=2,不符合题意.②当m<0时,在点A或B处均有可能取到最大值,得m=3或,均不符合题意.③若m>0,当在A处使得z=5时,得m=,经检验,符合题意,当在B(1,2)处使得z=5时,得m=3,而此时B(1,2)并不是目标函数的最优解.故舍去.综上,m=.B组提升题组11.C作出平面区域D,如图中阴影部分.因为=cos∠AOM,M是D上的动点,由图可知∠AOB≤∠AOM≤∠AOE,所以的最小值为cos∠AOE,在△AOE中易得cos∠AOE=.故选C.12.B不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A(6,-1),B(0,1),C(-2,-1),z=2|x|+y可转化为或①当x≥0时,直线z=2x+y经过点A(6,-1)时,z取最大值,即zmax=11;②当x<0时,直线z=-2x+y经过点C(-2,-1)时,z取最大值,即zmax=3.综上可知,z=2|x|+y的最大值为11,故选B.13.答案解析作出不等式组所表示的平面区域D,如图中的阴影部分所示,可知区域D上的点与坐标原点的距离的最小值即为原点到直线x+y-1=0的距离,即==.14.解析(1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.图2解方程组得点M的坐标为(20,24).所以zmax=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.
