第一节平面向量的概念及其线性运算A组基础题组1.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向2.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于()A.B.2C.3D.43.如图,已知AB是圆O的直径,点C、D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a+bD.a+b4.在△ABC中,P是BC边的中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c+a+b=0,则△ABC的形状为()A.等边三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.直角三角形5.下列四个结论:①++=0;②+++=0;③-+-=0;④++-=0,其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.46.在平行四边形ABCD中,若|+|=|-|,则四边形ABCD的形状为.7.已知向量a,b不共线,若(λa+b)∥(a-2b),则实数λ=.8.如图,在△ABC中,AH⊥BC于H,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=.9.如图,在梯形ABCD中,=2,M,N分别是DC,AB的中点.若=e1,=e2,用e1,e2表示,,.B组提升题组10.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,n∈R),则的值为()A.-B.-2C.2D.11.点O在△ABC的内部,且满足+2+4=0,则△ABC的面积与△AOC的面积之比是()A.B.3C.D.212.(2017北京朝阳期末,7)在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的点,且||=3,||=4,=λ+μ(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,||的值为()A.B.3C.D.13.(2017北京房山一模,13)在边长为1的等边三角形ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF.设=x+y,则x+y=,·=.14.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b.(1)用a,b表示向量,,,,;(2)求证:B,E,F三点共线.答案精解精析A组基础题组1.D∵c∥d,∴c=λd(λ∈R),即ka+b=λ(a-b),∴∴k=-1,则c=b-a,故c与d反向.2.D+++=(+)+(+)=2+2=4.故选D.3.D连接CD,由点C、D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且==a,所以=+=b+a.4.A如图,由c+a+b=0知,c(-)+a-b=(a-c)+(c-b)=0,而与为不共线向量,∴a-c=c-b=0,∴a=b=c,故△ABC是等边三角形.5.C①++=+=0,①正确;②+++=++=,②错;③-+-=++=+=0,③正确;④++-=+=0,④正确.故①③④正确.6.答案矩形解析如图,+=,-=,所以||=||.由对角线相等的平行四边形是矩形可知,四边形ABCD是矩形.7.答案-解析由(λa+b)∥(a-2b)可知,存在实数k使得(λa+b)+k(a-2b)=0成立,即(λ+k)a+(1-2k)b=0成立,又a,b不共线,所以解得λ=-.8.答案解析设=x,∵=(+)=[+x(-)]=[(1+x)-x],且=λ+μ,∴1+x=2λ,-x=2μ,∴λ+μ=.9.解析==e1;=+=-+=+-=-=e2-e1;=++=--+=-=e1-e2.B组提升题组10.B易知==,∴EF=EB,∴==(+)==+=-,∴m=,n=-,∴=-2.11.A设=,=2,=4,则有++=0,所以O为△A'B'C'的重心,由重心的性质知,S△A'OB'=S△A'OC'=S△B'OC',设为S,由=,=2,知S△AOB=S.同理,S△AOC=S,S△BOC=S.而S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=S,所以=·=,故选A.12.C点D是边BC上的点,则B,C,D三点共线,满足=x,所以-=x(-),即=(1-x)+x,又=λ+μ,所以λ+μ=1,所以λμ≤=,当且仅当λ=μ=时,等号成立,此时D为BC的中点,||==5,||=||=,故选C.13.答案;解析如图所示.∵=+=+=+×=+,∴x=,y=,∴x+y=.·=·(-)=-·-=-×1×1×cos60°-=.14.解析(1)由已知可得=(+)=(a+b).==·(a+b)=(a+b),==b,=-=(a+b)-a=b-a,=-=b-a.(2)证明:由=b-a,=b-a,得=,又,有公共点B,故B,E,F三点共线.
