一、光速解题——学会12种快速解题技法方法1特例法在解决选择题和填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特值法.特值法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,省去了推理论证、烦琐的演算过程,提高了解题的速度.特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.典例1(特殊数值)(1)设f(x)=若f(x0)>3,则x0的取值范围为()A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.(0,2)C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D.(-1,3)(2)在数列{an}中,a1=2,an=an-1+ln(n≥2),则an=()A.2+lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnD.1+n+lnn答案(1)C(2)A解析(1)取x0=1,则f(1)=+1=<3,故x0≠1,排除B、D;取x0=3,则f(3)=log28=3,故x0≠3,排除A.故选C.(2)由an=an-1+ln=an-1-ln(n-1)+lnn(n≥2),可知an-lnn=an-1-ln(n-1)(n≥2).令bn=an-lnn,则数列{bn}是以b1=a1-ln1=2为首项,d=bn-bn-1=0为公差的等差数列,则bn=2,故2=an-lnn,∴an=2+lnn.典例2(特殊点)(1)函数f(x)=的图象是()(2)如图,点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平分线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=()A.1B.2C.D.答案(1)C(2)A解析(1)因为x≠±1,所以排除A;因为f(0)=1,所以函数f(x)的图象过点(0,1),排除D;因为f==,所以排除B,故选C.(2)不妨取点P,则可计算S1=×(5-4)=,由题易得PD=2,PE=,所以S2=×2×=,所以S1∶S2=1.典例3(特殊函数)若函数y=f(x)对定义域D中的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使f(x1)·f(x2)=1成立,则称f(x)为“影子函数”,有下列三个命题:①“影子函数”f(x)的值域可以是R;②“影子函数”f(x)可以是奇函数;③若y=f(x),y=g(x)都是“影子函数”,且定义域相同,则y=f(x)·g(x)是“影子函数”.上述命题正确的序号是()A.①B.②C.③D.②③答案B解析对于①:假设“影子函数”的值域为R,则存在x1,使得f(x1)=0,此时不存在x2,使得f(x1)f(x2)=1,所以①错;对于②:函数f(x)=x(x≠0),对任意的x1∈(-∞,0)∪(0,+∞),取x2=,则f(x1)f(x2)=1,又因为函数f(x)=x(x≠0)为奇函数,所以“影子函数”f(x)可以是奇函数,②正确;对于③:函数f(x)=x(x>0),g(x)=(x>0)都是“影子函数”,但F(x)=f(x)g(x)=1(x>0)不是“影子函数”(因为对任意的x1∈(0,+∞),存在无数多个x2∈(0,+∞),使得F(x1)·F(x2)=1),所以③错.综上,应选B.典例4(特殊位置)(1)已知E为△ABC的重心,AD为BC边上的中线,令=a,=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且=ma,=nb,则+=()A.3B.4C.5D.(2)如图,在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q满足A1P=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为()A.3∶1B.2∶1C.4∶1D.∶1答案(1)A(2)B解析(1)由于直线PQ是过点E的一条“动”直线,所以结果必然是一个定值.故可利用特殊直线确定所求值.解法一:如图(1),令PQ∥BC,则=,=,此时,m=n=,故+=3.故选A.解法二:如图(2),直线BE与直线PQ重合,此时,=,=,故m=1,n=,所以+=3.故选A.(2)将P,Q置于特殊位置:P→A1,Q→B,此时仍满足条件A1P=BQ(=0),则有==.因此过P、Q、C三点的截面把棱柱分成体积比为2∶1的两部分.典例5(特殊图形)AD,BE分别是△ABC的中线,若||=||=1,且与的夹角为120°,则·=.答案解析若△ABC为等边三角形,则||=,∴·=||||cos60°=.方法2数形结合法数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用分为两种情形:一是代数问题几何化,借助形的直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,以数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是几何问题代数化,借助数的精确性阐明形的某些属性,即以数作为手段,以形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.典例6(数形结合法解决函数问题)(1)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为()A.4B.5C.6D.7(2)已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是.答案(1)C(2)(0,1)∪(1,2)解析(1)画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象(如图),观察图象可知f(x)=∴f(x)的最大值在x=4时...
