第二节参数方程A组基础题组1.若点P(2,4)在直线l:(t为参数)上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-12.(2017北京海淀一模,6)已知曲线C:(t为参数),A(-1,0),B(1,0).若曲线C上存在点P,且满足·=0,则实数a的取值范围为()A.B.[-1,1]C.[-,]D.[-2,2]3.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为.4.在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为.5.已知圆C的参数方程为(α为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcosθ=1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为.6.已知曲线C1的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为.7.在直角坐标系xOy中,曲线C1和曲线C2的参数方程分别为(θ为参数)和(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C1与C2的交点的极坐标为.8.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为ρsin=m,若曲线C与曲线E只有一个公共点,求实数m的取值范围.B组提升题组9.已知P为半圆C:(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为.(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;(2)求直线AM的参数方程.10.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ-2cosθ.(1)求曲线C的参数方程;(2)当α=时,求直线l与曲线C交点的极坐标.答案精解精析A组基础题组1.D点P(2,4)在直线l上,故解得t=1,a=-1,故选D.2.C解法一:∵A(-1,0),B(1,0),曲线C上存在点P,且满足·=0,∴点P的轨迹方程是x2+y2=1.曲线C的普通方程为y=x+a,圆心(0,0)到曲线C的距离d=,由题意得,≤1,即-≤a≤,∴选C.解法二:曲线C的普通方程为y=x+a,设P(x0,x0+a),则=(x0+1,x0+a),=(x0-1,x0+a),因为曲线C上存在点P,且满足·=0,所以-1++2ax0+a2=0,即2+2ax0+a2-1=0,只需方程2+2ax0+a2-1=0有实根,所以Δ=4a2-4×2(a2-1)≥0,解得-≤a≤.3.答案(θ为参数)解析由极坐标方程与直角坐标方程互化公式可得曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,故曲线C对应的参数方程可写为(θ为参数).4.答案3解析由直线l的参数方程(t为参数)消去参数t得直线l的一般方程为y=x-a,由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3,0).因为直线l过椭圆的右顶点,所以3-a=0,即a=3.5.答案(1,1)解析由极坐标系与直角坐标系互化关系可知直线l的直角坐标方程为x=1.由圆C的参数方程可得其普通方程为x2+(y-1)2=1,由得所以直线l与圆C的交点的直角坐标为(1,1).6.答案(,1)解析曲线C1为射线y=x(x≥0).曲线C2为圆x2+y2=4.设P为C1与C2的交点,如图,作PQ垂直x轴于点Q.因为tan∠POQ=,所以∠POQ=30°,又因为OP=2,所以C1与C2的交点P的直角坐标为(,1).7.答案解析曲线C1:(θ为参数)的普通方程为x2+y2=2,曲线C2:(t为参数)的普通方程为x=2-y.由得所以曲线C1与C2的交点的直角坐标为(1,1).因为点(1,1)在第一象限内,所以曲线C1与C2的交点的极坐标为.8.解析由(α为参数)⇒y=1-x2(-≤x≤),即曲线C的普通方程为y=1-x2(-≤x≤).曲线E的直角坐标方程为x-y+2m=0,由⇒x2+x+2m-1=0(-≤x≤),因为曲线C与曲线E只有一个公共点,∴Δ=1-4(2m-1)=0⇒m=,此时公共点为,满足题意.设曲线y=1-x2(-≤x≤)的两个端点为A(-,-1)、B(,-1),当直线x-y+2m=0过点A时可求得m=,当直线x-y+2m=0过点B时可求得m=-,结合图形可知,当-≤m<时,曲线C与曲线E只有一个公共点.综上所述,m的取值范围是∪.B组提升题组9.解析(1)由已知得M点的极角为,且M点的极径等于,故点M的极坐标为.(2)M点的直角坐标为,A(1,0),故直线AM的参数方程为(t为参数).10.解析(1)由ρ=2sinθ-2cosθ,可得ρ2=2ρsinθ-2ρcosθ.所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2.曲线C的参数方程为(φ为参数).(2)当α=时,直线l的方程为化成普通方程为y=x+2.由解得或所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为,(2,π).
