第6讲函数的值域与最值考点集训【p173】A组1．函数f(x)＝3x＋2，x∈[0，1]的值域为()A．RB．[0，1]C．[2，5]D．[5，＋∞)【解析】由题意得函数f(x)＝3x＋2在区间[0，1]上单调递增，∴f(0)≤f(x)≤f(1)，即2≤f(x)≤5.∴f(x)在[0，1]的值域为[2，5]．故选C.【答案】C2．函数y＝在[2，3]上的最小值为()A．2B.C.D．－【解析】函数y＝在[2，3]上单调递减，当x＝3时函数有最小值y＝＝.故选B.【答案】B3．已知函数f＝则f的值域是()A.B.C.D.∪【解析】当x≤1时，f(x)∈，当x>1时，f(x)＝x＋－3≥1，当且仅当x＝，即x＝2时，f(x)取最小值1；所以f(x)的值域为.选B.【答案】B4．若函数f＝x2－2x＋4的定义域、值域都是，则()A．b＝2B．b∈C．b∈D．b＝1或b＝2【解析】由题意得，函数f＝x2－2x＋4图象的对称轴为x＝2，∴函数f在区间上单调递增，且定义域、值域都是，∴f＝2b2－4b＋4＝2b，即b2－3b＋2＝0，解得b＝2或b＝1(舍去)，∴b＝2.故选A.【答案】A5．设函数f(x)＝则函数f(x)的值域是____________．【解析】当x>1时，∈(0，1)，当x≤1时，－x－2≥－3，所以函数的值域为[－3，＋∞)．【答案】[－3，＋∞)6．若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是______．【解析】由题意得：a＝－1.【答案】a＝－17．函数y＝x＋的值域是__________．【解析】令t＝，t≥0，则x＝，f(t)＝＋t＝，因为t≥0，所以f(t)有最小值f(0)＝，无最大值，故函数y＝x＋的值域是.【答案】8．设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.(1)求f(x)的解析式；(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．【解析】(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，∴函数图象过点(－3，0)，(2，0)，∴9a－3(b－8)－a－ab＝0，①4a＋2(b－8)－a－ab＝0，②①－②，得b＝a＋8.③③代入②，得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.∵a≠0，∴a＝－3，∴b＝a＋8＝5.∴f(x)＝－3x2－3x＋18.(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3＋＋18，函数图象的对称轴方程是x＝－，又0≤x≤1，∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18.∴函数f(x)的值域是[12，18]．B组1．已知函数f(x)＝|x－1|－1(x∈{0，1，2，3})，则其值域为()A．{0，1，2，3}B．{－1，0，1}C．{y|－1≤y≤1}D．{y|0≤y≤2}【解析】因为该函数的定义域是几个孤立的元素，故值域也是几个孤立的值，将定义域中x的取值全都代入到解析式中求得每一个对应函数值，分别为－1，0，1.这些值就构成了函数的值域．故选B.【答案】B2．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝x2f(x－1)的值域是()A．(－∞，＋∞)B．(－1，0)∪[1，＋∞)C．(－∞，0]∪(1，＋∞)D．(－1，＋∞)【解析】g(x)＝x2f(x－1)＝当x>1时，g(x)＝x2∈(1，＋∞)；当x＝1时，g(x)＝0；当x<1时，g(x)＝－x2∈(－∞，0]．综上可知，g(x)∈(－∞，0]∪(1，＋∞)．【答案】C3．定义新运算：当a≥b时，ab＝a；当ab>c，f＝0.(1)证明：函数f与g的图象交于不同的两点；(2)若函数F＝f－g在上的最小值为9，最大值为21，试求a，b的值．【解析】(1)证明：由g(x)＝－bx与f(x)＝ax2＋bx＋c相交得ax2＋2bx＋c＝0，∵f(1)＝a＋b＋c＝0，a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，从而Δ＝4b2－4ac＞0，即函数f(x)与g(x)的图象交于不同的两点．(2)解：∵c＝－a－b，a＞b＞c，∴a＞c＝－a－b，∴2a＞－b，∴－<2.∵函数F(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋2bx＋c的对称轴为x＝－，∴y＝F(x)在[2，3]上为增函数，∵函数F(x)＝f(x)－g(x)在[2，3]上的最小值为9，最大值为21，∴F(2)＝3a＋3b＝9，F(3)＝8a＋5b＝21，∴a＝2，b＝1.
