第7讲函数的单调性夯实基础【p17】【学习目标】了解函数单调性的概念及几何意义，掌握基本初等函数的单调性，会求(判断或证明)函数的单调区间，能运用函数单调性解决有关问题．【基础检测】1．下列函数在定义域内单调递增的是()A．y＝－x2B．y＝C．y＝－D．y＝－x3【解析】A不单调，C分区间，D递减．【答案】B2．函数y＝f，x∈的图象如图所示，则函数f(x)的所有单调递减区间为()A.B.C.和D.∪【解析】由图可知，f在和两个区间单调递减，故选C.【答案】C3．设f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有()A．a≥B．a≤C．a>－D．a<【解析】 f在R上是减函数，故2a－1<0，即a<.故选D.【答案】D4．函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系为()A．f(1)f(x2)__，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．(3)单调性与单调区间：如果函数y＝f(x)在某个区间上是__增函数或减函数__，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫作y＝f(x)的__单调区间__，具有单调性的函数叫单调函数．2．判断函数单调性的常用方法(1)定义法．(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数，一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数．(3)奇函数图象在关于原点对称的区间上的单调性__相同__；偶函数图象在关于原点对称的区间上的单调性__相反__．(4)导数法：若y＝f(x)的导数为y′＝f′(x)，若当x∈(a，b)时，f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上__递增__；若当x∈(a，b)时，f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上__递减__．(5)如果f(x)在区间D上是增(减)函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增(减)函数．(6)利用函数图象判断函数的单调性．典例剖析【p17】考点1函数单调性的判断讨论函数f(x)＝(a>0)在x∈(－1，1)上的单调性．【解析】法一(定义法)：设－10，∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故函数f(x)在(－1，1)上为减函数．法二(导数法)：f′(x)＝＝.又a>0，所以f′(x)<0，所以函数f(x)在(－1，1)上为减函数．【小结】判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤：(1)定义法，其基本步骤：取值―→―→―→(2)导数法，其基本步骤：―→―→考点2函数单调性的证明已知函数f＝(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数，且f＝.(1)求y＝f的解析式；(2)讨论函数y＝f的单调性并证明．【解析】(1)由题意，函数f是R上的奇函数，则f＝0，即＝0b＝－1，则f＝，又f＝，则f＝－f＝－，即＝，且＝－，解得a＝2，或a＝1(不合题意，舍去)，c＝1，所以f＝.(2)函数f＝在R上为增函数，下面用定义法证明：取x10，2x2>0，即2x1＋1>0，2x2＋1>0，所以<0，即f
