第36讲数列求和夯实基础【p76】【学习目标】1．熟练掌握等差、等比数列前n项和公式．2．熟练掌握非等差、等比数列求和的几种方法，如错位相减、裂项相消以及分组求和等．【基础检测】1．数列{an}满足an＋1＋an＝(－1)n·n，则数列{an}的前20项的和为()A．－100B．100C．－110D．110【解析】a1＋a2＝－1·1，a3＋a4＝－1·3，a5＋a6＝－1·5，a7＋a8＝－1·7，…，由上述可知a1＋a2＋…＋a19＋a20＝－1×(1＋3＋5＋…＋19)＝－1××10＝－100.【答案】A2.＋＋＋＋…＋＝()A.B.C.D.【解析】因为＋＋＋…＋＝＝＝＝.【答案】C3．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是()A．2n＋2＋2－nB．2n＋1－n＋2C．2n－n－2D．2n＋1－n－2【解析】 Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n，②∴①－②式得：－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，∴Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1＝2n＋1－n－2.【答案】D4．设f(x)＝，利用倒序相加法，则f＋f＋…＋f等于()A．4B．5C．6D．10【解析】当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝＝1.设S＝f＋f＋…＋f，倒序相加有2S＝＋＋…＋＝10，即S＝5.【答案】B5．数列{an}的通项公式为an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2019＝________．【解析】因为数列an＝ncos呈周期性变化，观察此数列规律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.∴S2019＝S2016＋a2017＋a2018＋a2019＝×2＋0－2018＋0＝－1010.【答案】－1010【知识要点】求数列前n项和的基本方法(1)公式法数列{an}为等差或等比数列时直接运用其前n项和公式求和．若{an}为等差数列，则Sn＝＝__na1＋d__．若{an}为等比数列，其公比为q，则当q＝1时，Sn＝__na1__({an}为常数列)；当q≠1时，Sn＝____＝____．(2)裂项相消求和法数列{an}满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和．(3)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项的和即可用倒序相加法，如等差数列前n项的和公式就是用此法推导的．(4)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(5)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和然后相加减．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.典例剖析【p76】考点1分组转化法求和等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝(n∈N*)．(1)证明：数列是等比数列．(2)求数列的前n项和Sn.【解析】(1) an＋1＝，∴＝＝＋，∴＝.又a1＝，∴－1＝，∴是以为首项，为公比的等比数列．(2)由(1)知－1＝，∴＝＋1，∴＝＋n，设Tn＝＋＋…＋，Tn＝＋＋…＋＋，∴Tn＝＋＋…＋－＝－，∴Tn＝2－－.又1＋2＋…＋n＝，∴数列的前n项和为Sn＝2－＋.考点2错位相减法求和设数列{an}是等差数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝1－bn(n∈N*)，且a2－1＝，a5＝＋1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设Tn为数列{an·bn}的前n项和，求Tn.【解析】(1)由Sn＝1－bn，①知：当n＝1时，b1＝1－b1，∴b1＝.当n≥2时，Sn－1＝1－bn－1，②①－②得：2bn＝bn－1， b1≠0，∴bn－1≠0.∴＝(n≥2)，∴{bn}是以为首项，为公比的等比数列，∴bn＝，∴b3＝.∴a2＝3，a5＝9，∴3d＝a5－a2＝...
