第16讲导数与函数的单调性考点集训【p185】A组1．函数f(x)＝(2x－3)ex的单调递增区间是()A.B．(2，＋∞)C.D.【解析】f′＝2ex＋ex＝ex，由f′>0，可得x∈.【答案】D2．若函数f＝ax3＋3x2－x恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为()A．(－3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，0)∪(0，＋∞)D．(－∞，0)∪(0，3)【解析】由题意知，f′(x)＝3ax2＋6x－1，∵f(x)恰有三个单调区间，∴f′(x)＝3ax2＋6x－1＝0有两个不同的实数根，∴Δ＝36－4×3a×(－1)＞0，且a≠0，即a＞－3且a≠0，即(－3，0)∪(0，＋∞)，故选C.【答案】C3．已知f是偶函数，在上导函数f′>0恒成立，则下列不等式成立的是()A．f0)，∴f′(x)＝－x(x>0)．则当x∈(0，1)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数．当x＝1时，f(x)取最大值，f(1)＝－，故选B.【答案】B6．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．【解析】由题意知f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以a≤(3x2)min＝3.【答案】37．已知函数f(x)＝ex－ax＋a，其中a∈R，e为自然对数的底数，讨论函数f(x)的单调性，并写出相应的单调区间．【解析】由函数f(x)＝ex－ax＋a，可知f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增；当a>0时，令f′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna，故当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增．综上，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，lna)，单调递增区间为(lna，＋∞)．8．已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．【解析】(1)f′(x)＝，由已知，f′(1)＝＝0，∴k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝.设h(x)＝－lnx－1，则h′(x)＝－－<0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数，由h(1)＝0知，当00，从而f′(x)>0，当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．B组1．函数f(x)＝x·cosx－sinx的导函数的部分图象为()【解析】根据题意，函数f(x)＝x·cosx－sinx的导函数为f′(x)＝－x·sinx，由导函数为偶函数排除B，C，然后看选项A，D，由于在原点右侧附近导函数的值为负数，故选D.【答案】D2．若函数f的导函数是f′＝－x(a<0)，则函数f的单调递减区间是()A.B.，C.D.，【解析】函数的单调递减区间满足f′<0，即－x≤0，又a<0，可得x≤0，则有0≤x≤－.故选C.【答案】C3．若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是________________________________________________________________________．【解析】由于f′(x)＝4x－＝(x>0)，故函数f(x)的递增区间为，递减区间为，故若函数在区间(k－1，k＋1)上不单调，有解得1≤k<.【答案】1≤k<4．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是__________．【解析】函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－ax＋a－1.令f′(x)＝0，解得x＝1，或x＝a－1.当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意；当a－1>1即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．依题意应有当x∈(1，4)时，f′(x)<0；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.所以a的取值范围为[5，7]．【答案】[5，7]
